Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные пространства

Часто приходится встречаться с объектами, над которыми производятся операции сложения и умножения на числа. Например, векторы в геометрии в трехмерном пространстве умножаются на числа и складываются. Вещественные функции вещественных аргументов умножаются на числа и складываются и т. п. Одни и те же операции производятся над совершенно разными объектами. Для того чтобы изучить все такие примеры с единой точки зрения, вводится понятие линейного (или векторного) пространства.

Пусть на множестве L элементов x, y, z, … заданы два отображения:

L × L → L,

L × R → L,

где R — множество действительных чисел ("вещественная прямая"). Обозначим эти отображения как:

x, y → x + y L,

x, α → αx L

соответственно. Тогда множество L называется действительным линейным пространством, если для введенных отображений выполнены следующие требования:

1. x+ y =y +x (коммутативность).

2. x+ y+ z= x+ y+ z (ассоциативность).

3. θ L: x L x+ θ = x (существование нуля).

4. Для x L - x L x+ - x = θ(существование противоположного элемента).

5. 1· x = x 1 R.

6. α β x = αβ x.

7. α +β x = αx + βx.

8. α x + y = αx +αy.

Часто говорят о линейном векторном пространстве. Сами элементы L также называются векторами. Если вместо множества R действительных чисел используется множество C комплексных чисел, то получим комплексное линейное пространство. Непустое подмножество линейного пространства L называется подпространством, если оно само является линейным пространством по отношению к определенным в L операциям. Пусть — произвольное непустое семейство элементов линейного пространства L (счетность множества x не предполагается). Определение понятия семейства элементов было дано выше. Рассмотрим все подпространства линейного пространства L, содержащие заданную систему векторов . Пересечение этих подпространств, очевидно, тоже будет подпространством. Это так называемое наименьшее подпространство, содержащее . Оно называется подпространством, порожденным множеством , или линейной оболочкой семейства элементов .

Примеры линейных пространств.

1. Множество R действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения (L совпадает с R).

2. Совокупность систем n действительных (или комплексных) чисел x = x1,x2,…,xn, где сложение и умножение на число определяются формулами

x + y = x1 + y1,x2 +y2,…,xn + yn, αx = αx1,αx2,…,αxn.

называется n-мерным арифметическим пространством и обозначается (для действительного пространства) или (в комплексном случае).

3. Множество непрерывных на отрезке, ab функций с обычными операциями сложения и умножения на числа образует векторные пространства, C a, b, 2, C² a, b.

Конечное множество векторов называется линейно зависимым, если существует множество чисел , из которых не все равны нулю, такое, что = 0. Если

= 0 : = 0,

то конечное множество называется линейно независимым.

Замечание. Важно, что линейная зависимость и линейная независимость — свойства множества векторов. Однако соответствующие прилагательные часто условно применяются к самим векторам, которые называются линейно зависимыми или линейно независимыми. Множество X (не обязательно конечное) называется линейно независимым, если линейно независимо любое его конечное подмножество. В противном случае множество X — линейно зависимо. Если — конечное множество и для некоторого x L справедливо представление , то говорят, что x является линейной комбинацией векторов . Линейное пространство L называется конечномерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторы — линейно зависимы. В этом случае говорят, что L имеет размерность n. Любой набор из n линейно независимых векторов n -мерного пространства L называется базисом этого пространства. Если существует любое количество линейно независимых векторов, то пространство L называется бесконечномерным. Понятие базиса бесконечномерного пространства здесь не обсуждается.

Примеры. 1. Можно доказать, что пространства , имеют размерность n, поэтому и были названы ранее n -мерными пространствами.

2. Пространства C a, b, 2, C² a, b бесконечномерны.

3. Базисом в пространстве является любое действительное число, отличное от нуля.

4. Базис в пространстве образует, например, система векторов 1, 0,..., 0, 0, 1,..., 0,..., 0, 0,..., 1. n -мерные пространства изучаются в курсах по линейной алгебре и являются основой для задач нелинейного программирования. Пространства с бесконечным числом измерений изучаются в функциональном анализе и представляют основной интерес для бесконечномерных оптимизационных задач, например, для задач теории оптимального управления.