Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Гильбертовы пространства

Читайте также:
  1. Анализ молодежного информационного пространства.
  2. Базис линейного пространства
  3. Банаховы пространства
  4. В сентябре 2003 года четырьмя странами - Беларусью, Казахстаном, Россией и Украиной было подписано соглашение о формировании ЕЭП (Единого экономического пространства).
  5. В) информационная безопасность (обеспечение безопасности личности, государства, общества и глобального информационного пространства);
  6. Вопрос 10. Восприятие, его виды и свойства. Восприятие пространства, времени, движения. Законы восприятия.
  7. Вопрос 2: Восприятие пространства, времени, движения. Иллюзия восприятия.
  8. Вопрос Проблема субстанции. Материя как философская категория. Философское понятие пространства, времени и движения
  9. Восприятие пространства
  10. Восприятие пространства и движения.

 

Гильбертовым пространством называется полное евклидово пространство. (Напомним, что понятие полноты уже вводилось нами ранее для метрических пространств.) Таким образом, гильбертовы пространства — это частный случай евклидовых (предгильбертовых) пространств. В то же время гильбертово пространство дает пример полного линейного нормированного пространства (со специфической нормой) и поэтому является частным случаем банахова пространства. Ясно, что евклидово пространство не обязано быть банаховым, т. к. оно может быть неполно. Иногда при определении гильбертова пространства выдвигается дополнительное требование бесконечномерности, т. е. существования любого числа линейно независимых элементов. Мы таких предположений не делаем и, следовательно, допускаем существование конечномерных гильбертовых пространств. Кроме того, часто при изучении гильбертовых пространств явно или неявно предполагают их сепарабельность. Можно показать, что любое конечномерное евклидово пространство является гильбертовым (т. е. полно).

Изоморфизмом евклидова пространства L на евклидово пространство L называется биективное отображение f: L→L′ такое, что

 

 

Таким образом, изоморфизм есть такое взаимно однозначное соответствие, которое сохраняет как линейные операции, определенные в пространствах L, L′, так и скалярное произведение. Евклидовы пространства называются изоморфными, если можно построить соответствующий изоморфизм f. Рассмотрим конечномерные (n -мерные) евклидовы пространства, т. е. такие линейные пространства со скалярным произведением, для которых существует конечное число n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов — линейно зависимы. Можно доказать, что любые два n-мерных евклидова пространства изоморфны между собой. Следовательно, любое такое пространство изоморфно арифметическому пространству (состоящему из наборов n действительных чисел). Если в каком-нибудь n -мерном евклидовом пространстве доказана теорема, сформулированная в терминах операций сложения, умножения на числа и скалярного произведения векторов, то эта же теорема верна и в любом изоморфном ему пространстве. В качестве такого "стандартного" пространства часто используется пространство . Евклидовы пространства бесконечного числа измерений не обязаны быть изоморфными между собой. Для гильбертовых пространств в общем случае справедливо следующее утверждение.

Теорема 1.11. Если два бесконечномерных гильбертова пространства сепарабельны, то они изоморфны между собой. (Напомним, что метрическое пространство E называется сепарабельным, если в E существует не более чем счетное (т. е. конечное или счетное) всюду плотное множество.)

Доказательство этой теоремы проводить не будем. Отметим только, что оно заключается в установлении изоморфизма любого бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства евклидову пространству бесконечных последовательностей действительных чисел:

 

 

: x, y = .

 

(Здесь ряд в правой части выражения для скалярного произведения сходится. Можно показать, что евклидово пространство является примером сепарабельного бесконечномерного гильбертова пространства.) Аналогично пространству в случае конечного числа измерений, в бесконечномерном случае пространство является "стандартным" гильбертовым пространством. Можно сказать более определенно. С точностью до изоморфизма существует только одно сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство . Концепция сепарабельности в теории гильбертовых пространств настолько важна, что требование сепарабельности часто изначально включается в определение гильбертова пространства и отдельно затем не оговаривается.




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 43 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав