Определение предела функции по Гейне

13)

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом .

Производные более высоких порядков определяются аналогично. То есть производная -го порядка функции есть первая производная от производной -го порядка этой функции.

14)

Пусть функции u = u (x) и v = v (x) имеют производные в точке x ₀. Тогда в этой точке имеют производные их сумма, произведение и, при дополнительном условии v (x ₀) ≠ 0, их частное, причем:

15)

) Если функция u (x) дифференцируема в точке x ₀, а функция y = f (u) дифференцируема в точке u ₀ = f (x ₀), то сложная функция F (x) = f (u (x)) дифференцируема в точке x ₀, причем:

Пусть функция u = u (x) дифференцируема в точке x ₀, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u ₀ = u (x ₀), тогда сложная функция y = f (u (x)) дифференцируема в точке x ₀, причем

Так как u ^'(x ₀) dx = du, то

Последняя формула показывает, что дифференциал функции записывается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции.

Это свойство первого дифференциала называют инвариантностью (неизменностью)

16)

Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

17)