Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Ускорение при естественном способе задания движения

Читайте также:
  1. I часть задания
  2. II раздел. Задания этого раздела выполняются студентами самостоятельно письменно или устно (в записи на электронном носителе).
  3. II раздел. Задания этого раздела выполняются студентами самостоятельно письменно или устно (в записи на электронном носителе).
  4. II часть задания
  5. II. Практические задания
  6. III. Задания для самостоятельной работы по изучаемой теме.
  7. IV. Задания на выделение стратегий достижения результата.
  8. v011 Кинематика поступательного движения м. т. в пространстве.
  9. VII. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ И УИРС.
  10. VIII/ Народные движения XVII в.
Предварительно познакомимся с необходимыми сведениями из дифференциальной геометрии. Рассмотрим пространственную кривую. Пусть – единичный вектор касательной, проведенной в какой-либо Рис. 3.13.

точке М этой кривой (рис. 3.13). Возьмем теперь на кривой точку М 1, близкую к точке М, и обозначим единичный вектор касательной в этой точке через . Параллельно перенеся вектор в точку М, проведем плоскость через векторы и приложенные в точке М.

При стремлении точки М 1к точке М эта плоскость в пределе займет определенное положение. Полученную таким образом плоскость называют соприкасающейся плоскостью в точке М. Отметим, что если рассматриваемая кривая плоская, то она целиком будет расположена в соприкасающейся плоскости.

Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно касательной, называют нормальной плоскостью. Линия пересечения соприкасающейся и

нормальной плоскостей определяет главную нормаль к кривой в точке М. Плоскость, проведенную через точку М перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью. На рис. 3.14 соприкасающаяся, Рис. 3.14.

нормальная и спрямляющая плоскости обозначены соответственно цифрами I, II и III.

Линия пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей определяет бинормаль ккривой.

Таким образом, в каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления: касательной, главной нормали и бинормали. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей.

Единичный вектор касательной нами уже был введен. Единичный вектор , направленный в сторону вогнутости кривой, будет единичным вектором главной нормали. Направление единичного вектора бинормали определим из требования, чтобы касательная, главная нормаль и бинормаль, направления которых определяются векторами , , , образовывали правую систему осей, т.е. Полученный трехгранник, составленный из соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей, называется естественным трехгранником. Векторы , , являются единичными векторами осей естественного трехгранника (рис. 3.14).

Обозначим через величину угла между вектором , проведенным в точке М, и вектором , проведенным в точке М 1, близкой к точке М. Этот угол называется углом смежности (рис. 3.15 а).

Рис. 3.15.

Кривизной кривой в точке М называют предел отношения угла смежности к абсолютному значению длины дуги , т.е.

. (3.23)

Радиусом кривизны кривой в точке М называется величина, обратная кривизне

. (3.24)

Вектор скорости согласно выражению (3.17) можно представить в виде

.

На основании формулы (3.18) имеем

. (9.25)

Определим величину и направление вектора .

Пусть в момент времени точка находится в положении М на траектории, а в момент времени – в положении М 1. Перенося вектор их в точку М, найдем приращение вектора за промежуток времени (рис. 3.15 а)

.

Вектор при движении точки в сторону положительного отсчета дуги направлен в сторону вогнутости траектории (рис. 3.15 а), а при движении точки в сторону отрицательного отсчета дуги направлен в сторону выпуклости траектории (рис. 3.15 б). Найдем производную вектора :

.

Вектор всегда направлен в сторону вогнутости траектории (см. рис. 3.15 а и б) и лежит в плоскости, проходящей через точку М и векторы и (плоскость МАВ). Следовательно, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, т.к. при плоскость МАВ совпадает с соприкасающейся плоскостью к траектории в точке М.

Дифференцируя тождество по , получим

,

т.е. скалярное произведение на равно нулю, а это значит, что вектор перпендикулярен . Таким образом, вектор лежит в соприкасающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен ; следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны.

Определим теперь модуль вектора . Из равнобедренного треугольника АМВ (см. рис. 3.15 а)найдем

или, используя равенства (3.23) и (3.24), получим

.

Учитывая, что есть единичный вектор главной нормали, будем иметь

.

Значит, ,

и, следовательно,

, (3.26)

т.к. .

Из этой формулы следует, что вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости.

Составляющие ускорения по направлениям и соответственно равны

.

Проекция ускорения на направление

(3.27)

называется касательным (тангенциальным) ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль

(3.28)

называется нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль вектора ускорения равен

. (3.29)

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, в которые скорость достигает экстремальных значений.

Если и одного знака, то модуль скорости точки возрастает и движение в этом случае называется ускоренным.Если же и разных знаков, то модуль скорости точки убывает и движение будет замедленным. При модуль скорости остается постоянным – движение равномерное.

 

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.009 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав