Читайте также:
|
|
Рассмотрим волновую функцию квантовой системы из одной частицы. Если она удовлетворяет задаче Коши
, (1)
, (2)
где
, , , (3)
то определяется ею для всех 𝑡.
Так как нас будет здесь интересовать как функция от в данный момент 𝑡 (который может быть избран произвольно), то будем вместо использовать более простое обозначение . Если состояние классической частицы определяют (в каждый момент 𝑡) заданием её положения и импульса , то состояние квантовой частицы характеризуют вероятностью найти частицу в пределах и вероятностью иметь импульс в пределах . Это означает тем самым, что состояние частицы характеризуют вероятностью
найти частицу в области 𝑉 и вероятностью
иметь импульс из области 𝒟 (𝑉 и 𝒟 произвольные измеримые множества). Как плотности вероятностей функции и положительны и удовлетворяют условиям нормировки
(4)
где интегрирования распространены на все конфигурационное и импульсное пространства соответственно.
Для того, чтобы удовлетворять своему назначению быть характеристикой состояния квантовой частицы они должны однозначно выражаться через волновую функцию . В соответствии со сказанным в пункте 6.5 определяют равенством
(5)
Из первого равенства (4) следует ограничение на (условие нормировки):
, (6)
где как и в (4) интегрирование распространяется на все конфигурационное пространство. Это означает, что должна быть квадратично интегрируемой, а её норма должна оставаться постоянной во времени (см. также формулу (37) и далее а), б) в п. 6.5). Постоянство нормы мы докажем в следующем пункте, а пока нам предстоит ещё обсудить, как определяют через . Вспомним для этого понятие преобразования Фурье комплекснозначной функции 𝑓(𝑥1,..., 𝑥𝑛) от 𝑛 вещественных переменных 𝑥1,..., 𝑥𝑛. Оно (если существует) определяется формулой:
(7)
Обратное преобразование определяется формулой
(8)
Далее мы будем пользоваться основными свойствами преобразования Фурье, не оговаривая их особо.
При рассмотрим прямое и обратное преобразования Фурье волновой функции:
(9)
(10)
где ∫ означает и ради простоты предполагается, что этот интеграл сходится в обычном смысле (это можно считать ограничением на 𝛹). Наводящие соображения, связанные с принципом спектрального разложения (мы их обсуждать не будем), показывают, что вероятность найти значение импульса в пределах тем больше, чем больше , поэтому полагают симметрично с (5):
. (11)
Пространство волновых функций.
Помимо того, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, мы уже нагрузили её ограничениями общего характера (и ещё догрузим далее) и пора хотя бы в общих чертах определиться с классом функций (пространством), к которому целесообразно отнести волновые функции. В качестве такого пространства обычно рассматривают гильбертово пространство 𝐿2, то есть пространство функций 𝜓(𝑞1,..., 𝑞𝑠) таких, что
, (12)
где . Напомним, что под функциями в 𝐿2 понимают классы (эквивалентности) функций, удовлетворяющих (12) и отличающихся лишь на множестве меры ноль. Скалярное произведение в 𝐿2 в квантовой механике обозначают обычно , то есть
(13)
Пространство 𝐿2 удобно в квантовой механике тем, что, с одной стороны, и так приходится предполагать, что , а с другой стороны, преобразование Фурье и обратное ему всегда существуют для функций
из 𝐿2, если интегралы понимать в смысле главного значения, то есть если полагать
(теорема Планшереля). Разумеется, для функций из 𝐿1 (пространство Лебега) эти интегралы совпадают с обычными. Возвращаясь к равенству (11) отметим, что поскольку скалярное произведение , а значит и норма инвариантны относительно преобразования Фурье, то
, (14)
то есть второе условие нормировки (4) следует из первого.
Из (9), (10) следует, что для определения динамического состояния частицы всё равно что задавать - или . В связи с полной симметрией формул (4), (6) и (14), (5) и (11), (9) и (10) функции и называют волновой функцией в конфигурационном и импульсном пространствах соответственно и говорят, что 𝛹 и 𝛷 являются эквивалентными представлениями одного и того же динамического состояния.
8.2 Сохранение нормы во времени
Здесь мы докажем условие нормировки (4) для любого 𝑡∈(-∞, +∞). Для этого мы докажем равенство (6) для любого 𝑡 – это то же, что первое равенство в (4), а второе следует из (6) согласно формуле (14).
Функции 𝛹 и 𝛹* удовлетворяют уравнению Шредингера и сопряженному уравнению Шредингера соответственно:
, (15)
, (16)
Поэтому
(17)
Интегрируя это равенство по всему конфигурационному пространству и предполагая истинность равенства
(18)
(тем самым на 𝛹 накладывается какое-то ограничение; достаточно, например, потребовать равномерную по 𝑡∈(-∞, +∞) интегрируемость по конфигурационному пространству функции )
получаем:
(19)
Мы должны показать, что , то есть что ∫[ ]=0, то есть что
, (20)
или, в терминах скалярного произведения
(21)
Равенство (21), истинное для любой 𝛹∈ 𝐿2, означает по определению, что 𝐻 – эрмитовый оператор (иначе -самосопряженный). Таким образом, для того, чтобы квантово-механическая модель с рассматриваемым в данном конкретном случае уравнением Шредингера удовлетворяла условию нормировки, оператор 𝐻 должен быть эрмитовым.
Мы ограничимся здесь доказательством эрмитовости оператора 𝐻 для случая движения частицы в области действия скалярного потенциала, то есть для
(22)
Так как величина действительна, то равенство (20) принимает вид:
(23)
Пусть 𝜎𝑅 – достаточно гладкая замкнутая поверхность, разделяющая конфигурационное пространство на внутреннюю и внешнюю части, причем ⊃ 𝑆𝑅 (сфера радиуса 𝑅).
Тогда в (23) получаем:
, (24)
причем второй интеграл справа стремится к 0 при 𝑅⟶∞. Нам остается доказать, что и первый из интегралов справа в (24) стремиться к 0 при 𝑅⟶∞.
Так как
, (25)
то используя формулу Гаусса-Остроградского
(26)
при
, 𝑠 = 𝜎𝑅, 𝑣 = (27)
получаем
(28)
Записывая 𝛹 в виде |𝛹|𝑒𝑖α, получаем:
(29)
Если (∃ 𝑐>0)(∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧)(), (30)
то
(31)
Что и требовалось.
Замечание. При доказательстве сохранения нормы мы кроме того, что 𝛹∈ 𝐿2, дополнительно предположили выполнение условий (18), (30).
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 84 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |