Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Глава 7. Продольный изгиб

Читайте также:
  1. Вопрос38 изгиб и виды изгиба
  2. Деление сил, изгибающих шейку
  3. Какие днища, из перечисленных ниже, допускается изготавливать из листа, если отбортовка выполняется штамповкой или обкаткой кромки листа с изгибом на 90о ?
  4. Нарушения осанки с увеличением физиологических изгибов позвоночника
  5. Нарушения осанки с уменьшением физиологических изгибов позвоночника
  6. Основы расчета изгибаемых элементов по деформационной модели.
  7. Проверка окончательной эпюры изгибающих моментов
  8. Продольный
  9. Расчет зубьев прямозубой конической передачи по напряжениям изгиба

Рассмотрим стержень с площадью поперечного сечения А, сжимаемый продольной силой F, линия действия которой совпадает с геометрической осью стержня (рис. 7.1, а). Если сила F невелика, то стержень будет испытывать равномерное сжатие с напряжением σ . Прикладывая, кроме того, небольшую поперечную силу, можно вызвать изгиб стержня, при котором он, оставаясь изогнутым, будет находиться в равновесии. После снятия дополнительной поперечной силы стержень станет снова прямолинейным. Состояние, в котором находится стержень под действием небольшой силы F, называется устойчивым равновесием.

Рис. 7.1

Если увеличивать силу F, то после достижения некоторого значения, равновесие стержня становится безразличным. Нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. В этом положении действие небольшой поперечной силы либо каких-то других факторов (эксцентричность приложения силы F, первоначальные прогибы стержня, неоднородность его материала и т.п.), вызывает непрерывно увеличивающийся прогиб стержня, причем после устранения причины, вызывающей первоначальный прогиб, стержень не возвращается в исходное прямолинейное положение и остается изогнутым. Следовательно, при действии критической силы стержень может находиться в равновесии будучи либо прямолинейным, либо сохраняя слегка изогнутую форму.

В том случае, когда величина силы F больше критической, стержень будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия. При неустойчивом равновесии действие малой поперечной силы выводит стержень из равновесия, происходит внезапное поперечное выпучивание и разрушение стержня.

Пусть стержень находится в равновесии, сохраняя изогнутую форму при действии на него критической силы F кр (рис. 7.1, б). В сечении, отстоящем на расстоянии x от начала координат, действует изгибающий момент

M= . (7.1)

Величина момента является функцией от x и упругая линия стержня в определенном масштабе может служить эпюрой изгибающего момента. Поскольку прогиб y и кривизна упругой линии (приближенное значение для которой ) всегда будут иметь разные знаки, то дифференциальное уравнение упругой линии (6.41) запишется

Выражение (7.2) представим в виде

 

где

Дифференциальное уравнение (7.3) является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для него имеет вид

Корни уравнения (7.5) запишутся

Решение уравнения (7.3) получим в виде

y=

Произвольные постоянные С1 и С2 найдем из условия закрепления концов стержня: при х = 0, у = 0 и, следовательно, С1 = 0. При х = l, у = 0 и тогда получим, что С2 sin kx = 0. Если С2 = 0, то для уравнения (7.3) получаем тривиальное решение: y = 0. Это решение соответствует равновесию не искривленного стержня. Если С2 № 0, то должно быть sin kl = 0. Но это условие возможно только тогда, когда kl = 0, π, 2π, 3π,... Таким образом, равновесие стержня будет иметь место, если = 0, π, 2π, 3π,... Первое условие ( = 0) дает тривиальное решение: Fкр = 0.

Второе условие ( l = π) приводит к формуле Эйлера для определения критической силы:

Для отыскания произвольной постоянной C2 воспользуемся условием симметрии упругой линии (при x = l/2 y = ymax = f). В соответствии с этим условием получим

f=

Из выражения (7.9), учитывая, что kl = π, найдем значение коэффициента C2: C2 = f. Таким образом, постоянная C2 равна максимальному прогибу стержня.

При изменении условий закрепления величина критической силы изменяется.

Рис. 7.2

 

Из схемы (рис. 7.2), на которой изображен стержень длиной l, жестко закрепленный одним концом, и его зеркальное отображение, видно, что критическую силу для рассматриваемого случая можно определить по формуле для Fкр, если вместо l в нее подставить l1=2l:

Как видим, при изменении условий закрепления меняется числовой множитель при l в знаменателе правой части выражения (7.10).

Поскольку при потере стержнем прямолинейной формы его изгиб всегда будет происходить в плоскости наименьшей жесткости EJmin, то в выражении для критической силы необходимо взять значение минимального момента инерции Jmin. Тогда формула для определения критической силы в общем виде будет иметь вид

где μ - коэффициент, характеризующий условия закрепления концов стержня. Приведем значения μдля некоторых условий закрепления:

 

шарнирное закрепление………………………………….. 1,0
один конец защемлен, другой свободен………………… 2,0
оба конца защемлены ……………………………………. 0,5
один конец защемлен, другой закреплен шарнирно … 0,7

 

Произведение μ l называется приведенной длиной стержня.

Значение критического напряжения sкр найдем, разделив критическую силу Fкр на площадь поперечного сечения А:

 

где ρ=

- минимальный радиус инерции.

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Разбор клинических случаев| Концентрация напряжений

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав