Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и невырожденной, если .

Определение. Пусть А - квадратная матрица n -го порядка. Обратной матрицей для матрицы А называется матрица, для которой справедливо равенство

Рассмотрим условие существования матрицы, обратной к данной, и способ ее вычисления.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Доказательство.

1) Необходимость. Так как то (свойство 9), поэтому

2) Достаточность. Пусть . Зададим матрицу в следующем виде:

.

Тогда любой элемент произведения (или ), не лежащий на главной диагонали, равен сумме произведений элементов одной строки (или столбца) матрицы А на алгебраические дополнения к элементам друго столбца и, следовательно, равен 0 (как определитель с двумя равными столбцами). Элементы, стоящие на главной диагонали, равны Таким образом,

= .

3) Докажем единственность обратной матрицы. Предположим, что существуют матрицы X и Y, такие что и , где , и выполняются равенства и . Тогда, умножая на слева первое из них, получаем: , откуда , т.е. . Аналогично, умножая второе равенство на справа, получаем . Единственность доказана.

Теорема доказана.

Определение. Присоединённой матрицей к квадратной матрице А= называется матрица , полученная транспонированием из матрицы, составленной из алгебраических дополнений к элементам .

Замечание. В литературе присоединённую матрицу также называют взаимной, или союзной.

Таким образом, обратную матрицу можно вычислить по формуле:

Пример. Найдем матрицу, обратную к

следовательно, матрица А невырожденная. Найдем алгебраические дополнения к ее элементам:

Составим присоединённую матрицу Итак, Можно убедиться, что найденная матрица действительно удовлетворяет определению Найдем

Тот же результат получим и при умножении в обратном порядке.