Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вторая группа аксиом: аксиомы порядка

Читайте также:
  1. I группа
  2. I группа: задачи на решение проблем в обучении
  3. II группа
  4. III Группа инвалидности
  5. IV группа упражнений — ИЗМЕНЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ
  6. Автономная речь в подростковых группах. Социальные установки, нормы и ценности в подростковом возрасте. Общение и половая идентификация. Первая любовь.
  7. Аддитивная группа действительных чисел.
  8. Административные правонарушения против общественного порядка: понятие, виды
  9. Административные правонарушения против порядка приписки граждан к призывным участкам, призыва на военную службу и воинского учета: понятие, виды
  10. АКСИОМЫ ГЛАЗ

Аксиоматический метод. Общие вопросы.

Аксиоматический метод – это способов построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения теории получаются как логические следствия аксиом. В математике аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до 19 века образцом применения аксиоматического метода была геометрическая система, известная под названием «Начала» Евклида.

Суть аксиоматического построения науки, в том числе и геометрии, заключается в следующем.

1) Дается перечень основных понятий (основных объектов) и основных отношений между ними.

2) Указывается набор аксиом – предложений, принимаемых без доказательства, которые описывают свойства основных понятий и отношений между ними.

3) Строится цепочка утверждений (теорем), каждое из которых доказывается с использованием лишь аксиом и ранее доказанных теорем.

4) Вводятся новые понятия, определяемые через уже известные понятия.

Предложение, устанавливающее смысл нового термина, раскрывающее содержание нового понятия через известные уже понятия, называется определением.

Итак, при аксиоматическом построении какой-либо теории весь материал этой теории (например, геометрической) расчленяется на ряд точно сформулированных предложений, которые носят название аксиом, теорем и определений.

Сущность доказательства заключается в том, что данное утверждение путем логических умозаключений выводится как логическое следствие других предложений, справедливость которых считается уже установленной.

Понятно, что процесс сведения новых предложений к ранее доказанным утверждениям не может быть бесконечным: он неизбежно приводит к предложениям, которые нельзя логически обосновать ссылкой на другие предложения. Именно такие предложения принимаются без доказательства, считаются основой логического вывода всех прочих предложений и называются аксиомами.

Также следует заметить, что каждый раз, когда вводится новый термин, обозначающий новое понятие, необходимо разъяснить точный смысл этого термина, раскрыть содержание вновь вводимого понятия через знакомые уже понятия.

При помощи определения новое понятие сводится к ранее известным, более простым или более общим понятиям. Процесс сведения одних понятий к другим, ранее определенным, в конце концов неизбежно ведет к понятиям, которые уже не могут быть без ошибки сведены к другим понятиям.

Понятия, принимаемые в теории без определений, называются основными или первоначальными, все прочие – производными.

Всякая система аксиом, которая претендует быть основанием какой-либо научной теории, должна удовлетворять определенным требования. Она должна быть

1) непротиворечивой (или совместной);

2) независимой или минимальной;

3) полной.

Определение 1. Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее не могут быть выведены какие- либо два взаимно исключающие друг друга утверждения.

Доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели (интерпретации) этой системы.

Модель или интерпретация системы аксиом – это совокупность таких объектов и отношений между ними, для которых выполняются все сформулированные аксиомы. Для построения модели, как правило, выбираются объекты и отношения, для которых противоречия считаются невозможными.

Определение 2. Система аксиом называется независимой, если каждая ее аксиома не зависит от остальных ее аксиом, т. е. не может быть получена как логическое следствие остальных.

Чтобы доказать, что некоторая аксиома не является логическим следствием остальных аксиом системы, надо найти такую интерпретацию, в которой реализуются все аксиомы данной системы, кроме аксиомы .

Определение 3. Непротиворечивая система аксиом называется полной, если она не может быть пополнена никаким новым предложением относительно понятий данной теории, которое бы не следовало из имеющихся аксиом и им не противоречило.

Чтобы доказать полноту системы аксиом, надо доказать, что между всеми ее интерпретациями можно установить взаимно однозначное соответствие (то есть изоморфизм).

Существуют разные наборы аксиом для построения евклидовой геометрии. Одна из наиболее известных аксиоматик евклидовой геометрии – это система аксиом Гильберта, которая содержит 5 групп аксиом:

I. Аксиомы принадлежности или аксиомы соединения;

II. Аксиомы порядка;

III. Аксиомы конгруэнтности;

IV. Аксиомы непрерывности;

V. Аксиома параллельности.

Основные понятия в этой аксиоматике

1) точки, 2) прямые, 3) плоскости;

Основные отношения между неопределяемыми объектами выражаются словами:

1) «принадлежать» или «лежать на», «проходить через»;

2) «лежать между» (для точек);

3) «конгруэнтный» или «равный»;

4) «непрерывность;

5) «параллельность».

Рассмотрим аксиомы первой группы, которые связывают между собой основные понятия: точки прямые и плоскости.

Итак, аксиомы принадлежности (связи)

I1. Для любых двух точек и существует прямая , принадлежащая каждой из этих двух точек.

I2. Для любых двух точек и существует не более одной прямой, принадлежащей каждой из этих двух точек.

I3. На всякой прямой существуют, по крайней мере, две точки. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.

14. Для любых трех точек , , , не лежащих на одной и той же прямой, существует плоскость , принадлежащая каждой из этих трех точек. Каждой плоскости принадлежит по меньшей мере одна точка.

15. Для любых трех точек , , , не лежащих на одной и той же прямой, существует не более одной плоскости , принадлежащей каждой из,этих трех точек.

16. Если две точки и прямой лежат в плоскости , то и каждая точка этой прямой лежит в плоскости .

17. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют, по крайней мере, еще одну общую точку.

18. Существуют, по меньшей мере, четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.

Задачи

Опираясь на аксиомы первой группы, докажите следующие предложения.

1. Две прямые, лежащие в одной плоскости, имеют либо одну общую точку, либо не имеют общих точек.

2. Две различные плоскости либо не имеет общих точек, либо пересекаются по прямой.

3. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не имеет общих точек, либо имеют одну общую точку.

4. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как и через две прямые, имеющие общую точку, всегда можно провести плоскость и при том только одну.

5. Докажите непротиворечивость аксиом системы, состоящей из первых трех аксиом первой группы.

Вторая группа аксиом: аксиомы порядка

111. Если точка лежит между точками и (рис.), то , , – три различные точки прямой, и точка лежит также между точками и .

 

 
 

112. Для любых двух точек A и C, существует, по крайней мере одна точка B (рис.2) на прямой такая, что точка C лежит между точками A и B.

113. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими.

Чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие отрезка.

Определение 4. Отрезком называется система, состоящая из двух точек и . Точки и называются концами отрезка. Точки, лежащие между и , называются точками отрезка или внутренними его точками, остальные точки прямой называются внешними по отношению к отрезку..

Обозначают отрезок символом .

114 (Аксиома Паша). Пусть , , – три точки, не лежащие на одной прямой, и – прямая в плоскости , не проходящая ни через одну из точек , , . Тогда, если прямая проходит через одну из точек отрезка , то она проходит также или через одну из точек отрезка , или через одну из точек отрезка .

Задачи

6. Докажите, что каковы бы ни были две точки и , существует, по крайней мере, одна точка на прямой , лежащая между и .

7. Докажите, что среди любых трех точек одной прямой одна и только одна точка лежит между двумя другими.

8. Докажите, что если и , то и лежат на .

9. Докажите, что между любыми двумя точками прямой существует бесконечное множество других ее точек.

Особую роль в развитии аксиоматического метода сыграла пятая группа аксиом, состоящая из одной аксиомы, называемой аксиомой параллельности и выражающей отличие евклидовой геометрии от геометрии Лобачевского.




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 99 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав