Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Модальный анализ

Косвенные критерии статической устойчивости (Рауса-Гурвица, Михайлова, Жданова) не требуют определения корней характеристического уравнения, поэтому они активно использовались, пока не были разработаны эффективные алгоритмы определения корней характеристического уравнения высокого порядка. В настоящее время такие эффективные алгоритмы имеются, что послужило основанием для развития подхода, называемого модальным анализом.

Вернемся к уравнению (4.5), определяющему собственные значения и собственные векторы матрицы В. Эта матрица имеет n различных собственных значений которые представляют так называемые моды колебаний. Она также имеет n соответствующих линейно независимых правых собственных векторов , удовлетворяющих уравнению (4.5).

Существует модальная матрица

(4.38)

а также модальная матрица

Y , (4.39)

составленная из левых собственных векторов матрицы В^Т, где индекс Т означает транспонирование.

Справедливы соотношения

для , (4.40)

для (4.41)

Собственные векторы определяются с точностью до постоянного множителя, поэтому они нормализуются по выражению

(4.42)

Тогда (4.40), (4.41) можно записать

(4.43)

откуда (4.44)

где индекс «-1» означает обращение матрицы.

Отметим важное свойство

(4.45)

где . (4.46)

В современных ЭЭС имеют место обычно следующие моды колебаний:

● локальные моды, которые определяются электромеханическими колебаниями одного генератора относительно остальной части системы;

● межсистемные моды, которые определяются совместными колебаниями групп машин друг относительно друга при сильной связи внутри групп и относительно слабой связи между группами;

● моды регуляторов, которые определяются автоматическими регуляторами. Неоптимально настроенные АРВ, АРС, регуляторы ППТ, ВПТ и FACTS являются основными причинами неустойчивости этих мод;

● моды крутильных колебаний систем валопроводов турбогенераторов. Неустойчивость крутильных колебаний может быть вызвана взаимодействием различных регулирующих устройств.

Важнейшей характеристикой ЭЭС является чувствительность ее собственных значений. Она характеризует изменения собственных значений при малых вариациях элементов матрицы В. Чувствительность собственного значения к изменению элемента матрицы В определяется следующим образом:

(4.47)

Из частных производных (4.47) составляется матрица чувствительности . Матрица является матрицей мер взаимосвязи переменных состояния и мод колебаний.

Моды колебаний можно изменить с помощью управления. Для этого рассмотрим расширенную по сравнению с (4.4) исходную систему

(4.48)

+ F D w, (4.49)

где D х – вектор состояния размерности n; D у – выходной вектор размерности M; D w – входной вектор размерности r.

На рис. 4.12 дана графическая интерпретация модели ЭЭС в виде (4.48), (4.49).

Для изменения моды колебаний ЭЭС с помощью управления с обратной связью заданный входной сигнал в векторе D w должен возбудить наблюдаемую в выходном сигнале моду. Мерой этих двух характеристик являются понятия наблюдаемости и управляемости, соответственно.

Для этого вводятся матрицы модальной наблюдаемости и модальной управляемости, которые определяются следующим образом

DФ, (4.50)

(4.51)

где - матрица модальной наблюдаемости размерностью mxn; - матрица модальной управляемости размерностью nxr. Как видно, эти матрицы получаются в результате преобразования системы (4.48), (4.49) с использованием модальной матрицы Ф. При этом система (4.48), (4.49) приводится к эквивалентной системе

(4.52)

(5.53)

где - новый вектор состояния системы.

Представление (3.52), (3.53) обладает тем положительным свойством, что в явном виде указывает влияние входных сигналов на моды колебаний системы. При этом следует иметь ввиду, что в общем случае система (4.52), (4.53) рассматривается в комплексных числах вследствие комплексности собственных значений .

Для реализации управления выбранной модой колебаний ЭЭС, представляемая моделью (4.48), (4.49), должна быть как управляема по выбранному входу, так и наблюдаема по выбранному выходу.

		Рис. 4.12. Блок-схема модели ЭЭС (3.48), (3.49)

Контрольные вопросы

1. Уравнения малых колебаний ЭЭС

2. Характеристическое уравнение

3. Устойчивость в малом по А.М. Ляпунову

4. Критерий устойчивости П.С. Жданова

5. Критерий Рауса-Гурвица

6. Критерий А.В. Михайлова

7. Метод D-разбиения

8. Степень устойчивости

9. Модальный анализ