Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вложение кольца Z в поле Q.

Читайте также:
  1. Конструкция кольца со вставкой.
  2. ПЕРЕЛОМ КОСТЕЙ ТАЗА С НАРУШЕНИЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ ТАЗОВОГО КОЛЬЦА
  3. Теорема1. Поглощающее свойство нуля. При умножении любого элемента кольца на 0 в результате получается нуль.
  4. Упражнения на кольцах

Определение: QZ:= {a=(а,1)/аÎZ} Элементы этого множества будем называть целыми рациональными числами.

Свойство 1: [(с, d)]Î QZ Û с d.

Доказательство: (Þ) (а, 1)~(с, d) Þad=cÞc d

(Ü) c d Þ(c, d)~(k,1). Ä

Свойство 2: f: Z® QZ: a |®[(a,1)] ()

f – гомоморфизм колец.

Доказательство: QZ - кольцо, f(a+в)=f(a)+f(в), f(ав)=f(a)f(в). Ä

Свойство 3: Гомоморфизм f – биекция.

Следствие: Z@ QZ изоморфные кольца.

Свойство 4: Гомоморфизм f сохраняет порядок: "а, в Î Z а>вÞf(a)>f(в)

Доказательство: f(a)=[(a,1)], f(в)=[(в,1)], a*1>в*1, т.к. a>в. Ä

Следствие: На основе изоморфизма (), который сохраняет операции сложения, умножения и отношение порядка, можно отождествить каждое целое число а с целым рациональным числом [(а, 1)], таким образом кольцо целых чисел Z является подкольцом поля Q рациональных чисел.

Свойство 5: Произвольное рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Доказательство: a=[(а, в)] Î а, в ¹0. [(а, 1)] × [(1, в)] = [(а, 1)]: [(в, 1)] = . Ä

Теорема: Поле рациональных чисел является наименьшим полем, которое содержит кольцо целых чисел.

Доказательство: По свойству 5 каждое рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Пусть Р – подполе поля Q которое содержит Z.

Р – поле, поэтому содержит результаты всевозможных сумм, вычитаний и делений своих элементов, в том числе и целых чисел, поэтому Р содержит всевозможные частные целых чисел, но каждое рациональное число Q и есть частное 2-х целых чисел, поэтому Q<P или Q=P. Ä


 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав