Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Кольцо действительных чисел

Определение 1:Модулем действительного числа называется

Определение 2: Пусть действителные числа, их произведением называется действительное число, которое определяется следующим образом:

Теорема 1: Множество является кольцом. Умножение на согласуется с умножением на D.

Доказательство:

1. для сложения всё уже доказано

2. б. а. о.

ограничено сверху

этого множества.

определено отношение неотрицательных действительных чисел

3. ассоциативность

доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:

Аналогично

согласно следствию теоремы о плотности множества D в множестве

4. дистрибутивность -это равенство очевидно, если одно из чисел .

Достаточно доказать дистрибутивность для Доказательство аналогично доказательству для ассоциативности.

Теорема 2: - поле.

Доказательство: достаточно доказать, что если

Будем считать, что Тогда

ограничено сверху и оказывается, что

Теорема 3: Множество действительных чисел содержит множество рациональных чисел. Отношение «=» отношение порядка, операции умножения и сложения на множестве согласуются соответствующими операциями на множестве

Доказательство: Множество содержит множество , поэтому мн-во содержит мн-во чисел вида

РАСШИРЕНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И КВАТЕРНИОНЫ