Читайте также:
|
|
Определение 1: Системой комплексных чисел называется множество с операциями сложение и умножение:
1. ;
2. .
Теорема 1: Система комплексных чисел является полем.
Док-во:
1 «+»: коммутативно
ассоциативно, .
2 «*»:коммутативно
ассоциативно, .
3 дистрибутивность □
– называется комплексной единицей.
.
.
.
Определение: Комплексное число записанное в виде называется алгебраической формой комплексного числа.
Утверждение 1: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:
;
;
Док-во:
.
Аналогично для умножения.□
Замечание: Пусть . Поставим в соответствие числа на декартовой плоскости с координатами . Числу x можно поставить в соответствие вектор с началом в (0,0) и концом в . Длина этого вектора .
, .
- эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической.
Утверждение 2: Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:
если ;
, то .
Утверждение 3: Если , , то .
Определение: Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число u, что .
Обозначение: .
Теорема: Пусть - комплексное число, тогда ровно n значений корня n-ой степени из z и они находятся по формуле:
.
- арифметическое значение корня.
Следствие: Корни степени n из z находятся в вершинах правильного n-ка.
Следствие 2: Множество всех корней степени n из 1 является мультипликативной группой.
Док-во:
·
·
· □
§2 Кватернионы.
Определение:
Алгеброй называется N-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, если в нем однозначно определена и всегда выполняется операция умножения, ассоциативные, дистрибутивные относительно сложения и связанные с умножением элементов на действительные числа следующее равенств:
(kα)β=(αk)β=k(αβ), k ϵ R α, β ϵ A (A – алгебра)
Такая алгебра называется алгеброй ранга n.
Замечание:
Алгебра является кольцом. Это кольцо не всегда коммутативно.
Определение:
Если в алгебре ранга n выполнимо деление, то она называется телом (или алгеброй с делением ранга n).
Замечание:
Тело может быть не коммутативным.
Алгебра ранга n имеет некоторый базис , , …, . Элемент алгебры можно представить виде α = (a1, a2, …,an).
α = a1 +a2 +…+an
β = b1 +b2 +…+bn
Умножение α∙β будет иметь вид выражено через всевозможные комбинации произведений базисных векторов.
Пример алгебры:
1. Поле действительных чисел R можно рассматривать как одномерное векторное пространство с одним базисным вектором:
n=1 =1
Любой элемент из R можно рассматривать как вектор α=α∙1. В этой алгебре выполнимо деление, поэтому R алгебра с делением ранга 1, причем коммутативная.
2. Поле комплексных чисел C:
n=2 =1, =i
Коммутативная алгебра с делением ранга.
3. Тело кватернионов H:
n=4 =1, =i, =j, =k
i | j | k | ||
i | j | k | ||
i | i | -1 | k | -j |
j | j | -k | -1 | i |
k | k | j | -i | -1 |
Пользуясь таблицей умножения можно найти произведение 2-х любых кватернионов.
q1∙q2=(a1+b1i+c1j+d1k)(a2+b2i+c2j+d2k)=
=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+
+b1ia2+b1ib2i+b1ic2j+b2id2k+
+c1ja2+c1jb2i+c1jc3j+c1jd2k+
+d1ka2+d1kb2i+d1kc3j+d1kd2k=
=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2-d1c2+c1d2)i+(a1c2-b1d2+c1a2+d1b2)j+(a1d2+b1c2-c1b2+d1a2)k
Замечание:
Умножение коммутативно и это легко проверить: (q1q2)q3=q1(q2q3)
Алгебра H – есть алгебра с делением, т.е. тело (не коммутативное поле). Для этого достаточно убедиться, что в H содержится единица и любой другой кватернион не равный 0имеет обратный:
q≠0 q-1: qq-1=q-1q=1
Определение:
Если q=a+bi+cj+dk, то число = a-bi-cj-dk называется сопряженным к числу q.
Найдем чему равно произведение q∙ = ∙q=a2+b2+c2+d2=N(q). N(q) называется нормой q. q≠0
Замечание:
Нахождение частного от деления кватерниона q1 на q≠0 сводится к решению двух (умножение не коммутативно) уравнений:
1.) x∙q=q1 – решается умножением обеих частей справа на q-1
2.) q∙y=q1 – решается умножением обеих частей слева на q-1
Пример:
Найти x из уравнения x∙q=q1, если q=2+3i+j-5k, q1=4+i-2j+3k
=2-3i-j+5k
N(q)=22+32+12+(-5)2=39
x=q1∙q-1=(4+i-2j+3k)∙ (2-3i-j+5k)=
Вывод:
Алгебра кватернионов H есть алгебра с делением ранга 4 над полем действительных чисел (или тело).
Утверждение:
Тело кватернионов H содержит поле комплексных чисел C
►q=a+bi+cj+dk →z=a+bi
Это соответствие взаимно-однозначно (биекция) и оно сохраняет операции сложения и умножения:
q1=a1+b1i+0j+0k
q+q1=(a+a1)+(b+b1)i+(c+0)j+(d+0)k
z+z1= (a+a1)+(b+b1)i
qq1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i+0j+0k что соответствует
zz1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i
Таким образом, множество кватернионов вида q1=a1+b1i+0j+0k изоморфно полю комплексных чисел, отсюда следует что тело кватернионов есть одно из расширений поля комплексных чисел. ◄
Теорема Фробениуса:
Алгебра с делением над полем действительных чисел является или полем действительных чисел или полем комплексных чисел или телом кватернионов.
Замечание:
Теорема устанавливает предел расширения числовых полей, а именно последним числовым полем, включающим все предшествующие числовые поля и кольца. Порядки их расширения являются телом кватернионов (не коммутативным).
Если же не требуется что бы числовая система была алгеброй с делением, то возможно построение сколько угодно гиперкомплексных систем или алгебр любого ранга, причем не только над R, но и над другими полями.
Например:
Над полем C можно построить алгебру B–кватернионов, так же как алгебру А кватернионов. Строится над полем R и имеет вид A+Bi+Cj+Dk. A, B,C, D ϵ С и 1, i, j, k – элементы базиса с той же таблицы умножения как в алгебре кватернионов, но алгебра B-кватернионов не обладает делением.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |