Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пример 2

Вычислить если

Показать решение

Число z называется корнем степени из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r ₀(cos φ₀ + i sin φ₀), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r (cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:

Итак, все решения уравнения задаются формулой

Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1,..., n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:

Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра: