Читайте также:
|
|
Лекции 7-8
Cистема имеет вид:
(1)
Коэффициенты при неизвестных составляют матрицы
Решением системы линейных уравнений (1) называется такая система п чисел , что каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены в нем неизвестных соответствующими числами
Система линейных уравнений может не иметь ни одного решения и тогда она называется несовместной. Такова, например, система
Если же система линейных уравнений обладает решениями, то она называется совместной. Совместная система называется определенной, если она обладает одним-единственным решением — лишь такие системы допускаются к рассмотрению в элементарной алгебре,— и неопределенной, если решений больше чем одно; как мы узнаем позже, их будет в этом случае даже бесконечно много. Так, система
определенна: она имеет решение и, как легко проверяется методом исключения неизвестного, это решение будет единственным. С другой стороны, система
неопределенна, так как имеет бесконечно много решений вида
(2)
где число k произвольно, причем решениями, получающимися по формулам (2), исчерпываются все решения нашей системы.
Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна ли данная система уравнений или нет, в случае совместности установить число решений, а также указать способ найти все эти решения.
Рассмотрим систему линейных уравнений (1).
Как мы знаем, прежде всего следует решить вопрос о совместности этой системы. Для этой цели возьмем матрицу A из коэффициентов системы и «расширенную» матрицу , полученную присоединением к А столбца из свободных членов,
A = , = ,
и вычислим ранги этих матриц. Легко видеть, что ранг матрицы либо равен рангу матрицы А, либо на единицу больше последнего. В самом деле, берем некоторую максимальную линейно независимую систему столбцов матрицы А. Она будет линейно независимой и в матрице .Если она сохраняет и свойство максимальности, т. е. столбец из свободных членов через нее линейно выражается, то ранги матрицы А и равны; в противоположном случае, присоединяя к этой системе столбец из свободных членов, мы получаем линейно независимую систему столбцов матрицы , которая будет в ней максимальной.
Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается следующей теоремой.
Теорема Кронекера — Капелли.
Система линейных уравнений (1) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы А.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 12 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |