Читайте также:
|
1. Функцию f (x) называют выпуклой, если она целиком лежит не выше отрезка, соединяющего две ее произвольные точки. Функцию называют строго выпуклой, если она целиком лежит ниже отрезка, соединяющего две ее произвольные, но не совпадающие точки.
2. Если функция сильно выпуклая, то она одновременно строго выпуклая и выпуклая. Если функция строго выпуклая, то она одновременно выпуклая.
3. Выпуклость функции можно определить по матрице Гессе:
· Если G(x) ≥ 0 
x 
, то функция выпуклая;
· Если G(x)>0 x , то функция строго выпуклая;
· Если G(x) ≥ l I x , где I – единичная матрица, то функция сильно выпуклая.
Пример 3.1. Исследовать выпуклость функции f (x) = 
на множестве Е 2. Матрица Гессе удовлетворяет условию 
при 
. Следуя п.3 замечаний 3.1, можно сделать вывод о сильной выпуклости функции. Одновременно она является строго выпуклой и выпуклой (п.2 замечаний 3.1).
Пример 3.5. f (x 1, x 2, x 3) = 3 x 12+2 x 22+ x 32-2 x 1 x 2-2 x 1 x 3+2 x 2 x 3-6 x 1-4 x 2-2 x 3
Ñ f (x 1, x 2, x 3) = 
.
G (x 1, x 2, x 3) = 
.
Для того чтобы показать, что функция выпуклая, проверим, является ли G положительно определенной или положительно полуопределенной матрицей. Заметим, что:
1) G – симметрическая матрица;
2) все диагональные элементы G положительны;
3) ведущие главные определители равны | G | > 0, 
= 20 > 0,
| G | =16> 0.
Таким образом, G – положительная определенная матрица, откуда следует, что f – выпуклая функция. (Более точно, если G – положительна определенная матрица, то f называется строго выпуклой функцией и обладает единственной точкой минимума.)
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 18 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |