Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Понятие и сущность одношаговых методов решения задачи Коши для ОДУ.

Читайте также:
  1. A1. Сущность и классификация организаций. Жизненный цикл организации и специфика управления на различных его этапах.
  2. Cельскохозяйственное картографирование, его особенности и задачи.
  3. I группа: задачи на решение проблем в обучении
  4. I Цели и задачи изучения дисциплины
  5. I. ПОНЯТИЕ ДОКУМЕНТА. ВИДЫ ДОКУМЕНТОВ.
  6. I. Понятие конституционного строя и основ конституционного строя
  7. I. Понятие социального института.
  8. I. Понятие, структура и функции религии. Социологические теории религии.
  9. I. Семинар. Тема 1. Предмет, система, задачи судебной медицины. Правовые и организационные основы судебно-медицинской экспертизы, Понятие, объекты, виды, экспертизы
  10. I. Цель и задачи дисциплины

 

Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x 0 + h используется информация о решении только в точке x 0.

Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi +1 = yi + h f (xi, yi), i = 0, 1,...

Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+ 1 вычисляются по следующим формулам:
yi +1 = yi + h (k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/6, i = 0, 1,...
k 1 = f (xi, yi),
k 2 = f (xi + h/2, yi + hk 1/2),
k 3 = f (xi + h/2, yi + hk 2/2),
k 4 = f (xi + h, yi + hk 3).
44) Различие между методами Рунге-Кутта и Кутта-Мерсона решения задачи Коши для ОДУ.

метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка.

Наиболее распространенным из них является метод, при котором удерживаются все члены, включая h 4. Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h 5. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле

, (7.13)

 

где K 0 = h f (xm, ym),
  K 1 = h f (xm +0.5 h, ym +0.5 K 0),
  K 2 = h f (xm +0.5 h, ym +0.5 K 1),
  K 3 = h f (xm + h, ym + K 2).

 

Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении величины шага. Схема Мерсона выглядит следующим образом:

(7.14)

 

где K 1 = h 3 f (xm, ym), h 3= h /3,
  K 2 = h 3 f (xm + h 3, ym + K 1),
  K 3 = h f (xm + h 3, ym +(K 1+ K 2) / 2),
  K 4 = K 1+ h 3 f (xm + h/ 2, ym +0,375(K 1+ K 3)),
  K 5 = h 3 f (xm + h, ym +1,5(K 4 - K 3)).

 

Эта схема требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но она позволяет на каждом шаге определять погрешность решения R по формуле

R = 0,1(2 K 4 - 3 K 3 - K 5). (7.15)

 

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав