Читайте также:
|
|
Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x 0 + h используется информация о решении только в точке x 0.
Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши - метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле
yi +1 = yi + h f (xi, yi), i = 0, 1,...
Методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности называют одношаговый метод, относящийся к широкому классу методов Рунге-Кутты. В этом методе величины yi+ 1 вычисляются по следующим формулам:
yi +1 = yi + h (k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/6, i = 0, 1,...
k 1 = f (xi, yi),
k 2 = f (xi + h/2, yi + hk 1/2),
k 3 = f (xi + h/2, yi + hk 2/2),
k 4 = f (xi + h, yi + hk 3).
44) Различие между методами Рунге-Кутта и Кутта-Мерсона решения задачи Коши для ОДУ.
метод Рунге-Кутта в сущности объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка.
Наиболее распространенным из них является метод, при котором удерживаются все члены, включая h 4. Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h 5. Расчеты при использовании этого классического метода производятся по формуле
, | (7.13) |
где | K 0 = h f (xm, ym), |
K 1 = h f (xm +0.5 h, ym +0.5 K 0), | |
K 2 = h f (xm +0.5 h, ym +0.5 K 1), | |
K 3 = h f (xm + h, ym + K 2). |
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении величины шага. Схема Мерсона выглядит следующим образом:
(7.14) |
где | K 1 = h 3 f (xm, ym), h 3= h /3, |
K 2 = h 3 f (xm + h 3, ym + K 1), | |
K 3 = h f (xm + h 3, ym +(K 1+ K 2) / 2), | |
K 4 = K 1+ h 3 f (xm + h/ 2, ym +0,375(K 1+ K 3)), | |
K 5 = h 3 f (xm + h, ym +1,5(K 4 - K 3)). |
Эта схема требует на каждом шаге вычислять правую часть дифференциального уравнения в пяти точках, но она позволяет на каждом шаге определять погрешность решения R по формуле
R = 0,1(2 K 4 - 3 K 3 - K 5). | (7.15) |
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 38 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |