Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Необходимый признак сходимости.

Теорема.

Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

Доказательство.

Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда

;

так как вместе с также и , то , т.е.

Здесь , а .

Поэтому

Отсюда , что и требовалось доказать.

Заметим, что нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. Это значит, что если некоторого ряда , то такой ряд является расходящимся. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких случаях, т.е. при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования.

Вопрос № 76

В двойном интеграле , где G - круг, ограниченный окружностью x ² + y ² = 2 x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O (0, 0) и вычислить полученный интеграл.

Решение.

Круг G изображен на Рис. 1, а.

Уравнения, связывающие (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) с полюсом в точке O (0, 0), имеют вид

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, (1)

причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент - π /2 ≤ φ ≤ π /2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ ² = 2 ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при - π /2 ≤ φ ≤ π /2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан отображения (1) равен ρ. Отметим, что на границе ρ = 0 области g, однако формула

(2)

замены переменных применима. Подынтегральная функция x ² + y ² в новых переменных равна ρ ². По формуле (2) имеем

Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:

(3)

и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [- π /2, π /2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ - от - π /2 до π /2, а по ρ - от 0 до 2 cos φ.

Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O (0, 0), а в точке A (1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x - 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2 π } (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x ² + y ² = 1 + 2 ρ cos φ + ρ ². В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим