Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Как расположены левая и правая прямые линии влияния N в рас­косе для фермы с параллельными поясами?

Левая и правая прямые параллельны.

ПРИМЕЧАНИЕ. Ответы можно (и даже нужно!) пояснять рисунками.

Тема 4. РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНЫХ СИСТЕМ

Что называется распорной системой?

Если вертикальная нагрузка, действующая на систему, вызывает в ее опорах наклонные реакции, такая система называется распорной. Нагрузка стремится раздвинуть опоры, как бы «распирает» их, отсюда и произошло название - «распорные системы». Горизонтальная составляющая опорной реакции называется распор.

Что называется трехшарнирной аркой?

Трехшарнирная арка - это распорная система, имеющая форму кривого стержня; она состоит из двух несущих дисков, со­единенных между собой и с землей шарнирами А, В, С.

Трехшарнирные арки статически определимы и геометрически неизменяемы.

Основные параметры трехшарнирной арки

Опоры А и В принято называть пятами, шарнир С замком арки, расстояние от прямой, соединяющей опоры, до замкового шарнира — стрелой подъема f, а расстояние между опора­ми по горизонтали - пролетом арки L.

Чем отличается трехшарнирная арка от трехшарнирной висячей системы?

Выпуклость арки противоположна действию нагрузки, в этом случае распор направлен внутрь арки.

Если выпуклость системы совпадает с направлением действия нагрузки, то распор будет направлен наружу. Такие системы носят название висячих.

Дать определение арки с затяжкой

Когда опорные устройства не способны воспринять распор, вво­дят дополнительный стержень (затяжку), соединяющий обе полуарки. Затяжка может быть расположена на уровне опор арки или выше их. Иногда затяжка выполняется ломаного очертания.

В расчетной схеме арки с затяжкой достаточно одной шарнирно-неподвижной опоры для обеспечения неподвижности системы в горизонтальном направлении; вторая опора принимается шарнирно-подвижной.

Опорные реакции в трехшарнирной арке в случае вертикальных нагрузок

Вертикальные составляющие R _A и R _В в опорах арки равны реакциям R _A^б и R _В^б в соответствующей балке:

.

Горизонтальные составляющие реакций (распор)

,

где – значение изгибающего момента в сечении С соответствующей балки (под шарниром С арки); f – стрела подъема арки.

Как зависят реакции в арке от стрелы подъема f, длины пролета l и очертания оси?

Вертикальные составляющие опорных реакций R _A, R _B зависят от длины пролета l и не зависят от стрелы подъема f и очертания оси.

Распор Н зависит от длины пролета l и стрелы подъема f, но не зависит от очертания оси. Распор тем больше, чем меньше стрела подъема и наоборот.

Внутренние усилия в арке

Изгибающий момент М, поперечная Q и продольная N сила в некотором сечении арки равны:

М = М ^б - Н×у; Q = Q ^б cosa - Н sina; N = - (Q ^б sina + Н cosa),

где у - ордината данного сечения; a - угол наклона касательной к оси арки в данном сечении; Н - распор арки; М^б, Q^б - изгибающий момент и поперечная сила в точке соответствующей балки с той же абсциссой, что и данное сечение.

Сравнить внутренние усилия в арке и балке одинакового про­лета

При одинаковом нагружении изгибающие моменты и попереч­ные силы в арке всегда меньше, чем в балке того же пролета (это следует из формул для их вычисления). В этом состоит одно из достоинств арок.

В арке, в отличие от балки, возникает продольная сила. Она сжимающая (N < 0), потому что, как правило, Q sina < Н cosa.

Охарактеризовать эпюры внутренних усилий в арке

Эпюры внутренних усилий в арках всегда криволинейного очертания. Это видно из расчетных формул, в которых сомножителями слагаемых являются у, sina и cosa, нелинейно изменяющиеся по длине пролета.

Из дифференциальной зависимости между моментами и поперечными силами следуют следующие правила: если на участке поперечная сила положительна (Q > 0), то изгибающий момент М на этом участке возрастает; при Q < 0 момент М убывает; если в некотором сечении Q = 0, то эпюра М имеет здесь экстремум.

Под сосредоточенной силой Р эпюра Q имеет скачок P sina, эпюра N – скачок P cosa.

Опорные реакции в арке с затяжкой при вертикальной нагрузке

Вертикальная нагрузка вызывает в опорах только вертикальные реакции, горизонтальная составляющая реакции шарнирно­-неподвижной опоры отсутствует.

Вертикальные реакции опор равны реакциям соответствующей балки .

Затяжка АВ работает на центральное растяжение, в ней возникает только продольная сила N_зат, которая равна распору в обычной трехшарнирной арке без затяжки.

.

Внутренние усилия в арке с затяжкой

В трехшарнирной арке с затяжкой изгибающие моменты, поперечные и продольные силы определяются по формулам:

М = М ^б - Н×у; Q = Q ^б cosa - Н sina; N = - (Q ^б sina + Н cosa),

При этом усилие в затяжке N_зат играет роль распора Н: Н = N_зат.

Дифференциальная зависимость между моментами и поперечными силами в арке

Поперечная сила есть производная от изгибающего момента по длине оси арки: .

Что такое рациональная ось арки?

Рациональной осью арки называется ось такого очертания, при которой размеры поперечного сечения будут наименьшими. Так как наибольшее влияние на прочность оказывают изгибающие моменты, то рациональной осью будет такая, при которой изгибающие моменты во всех сечениях арки равны нулю.

Уравнение рациональной оси

При действии на арку только вертикальной нагрузки уравнение рациональной оси

у (x) = М^б/Н.

Для фиксированной нагрузки распор Н является константой. Следовательно, рациональная ось по форме должна совпадать с очертанием эпюры изгибающих моментов М в соответствующей балке.

Если найдено такое очертание оси арки, при котором изгибаю­щие моменты во всех сечениях равны нулю (М = 0), то на основа­нии дифференциального соотношения поперечные силы во всех сечениях также равны нулю (Q = 0). Следовательно, в сечениях арки возникают только продольные силы N, т. е. арка работает исключительно на сжатие. Это особенно выгодно для каменных и бетонных сооружений.

Рациональная ось арки при действии равномерно распределенной нагрузки

Рациональная ось по форме совпадает с очертанием эпюры из­гибающих моментов М ^б в соответствующей балке. При действии равномерно распределенной нагрузки эпюра М очерчена по квад­ратной параболе. Значит, рациональной осью арки является квад­ратная парабола.

Рациональная ось трехшарнирной системы при действии сосредоточенных сил

Рациональная ось по форме совпадает с очертанием эпюры из­гибающих моментов М ^б в соответствующей балке. При действии сосредоточенных сил эпюра М ^б имеет ломаное очертание. Значит, рациональной осью является ломаная линия. Это уже не арка, а трехшарнирная рама.

Рациональная ось арки при действии радиальной нагрузки (гидростатического давления)

Гидростатическое давление - это равномерно распределенная нагрузка, направленная по нормали к оси арки. Чаще всего такая нагрузка рассматривается при расчете арочных плотин.

Рациональное очертание оси трехшарнирной арки - дуга окружности.

Определение нормальных напряжений в арках

Арка представляет собой кривой стержень, поэтому при точном ее расчете надо учитывать кривизну. Применяемые в строительстве арки и своды в большинстве случаев пологие. Их допускается рассчитывать по приближенным формулам, т. е. считать, что напряженное состояние в сечении арки является та­ким же, как и в прямом, а не кривом стержне.

Нормальные напряжения при внецентренном сжатии определяются следующим образом:

где М - изгибающий момент; N - продольная сила; А - площадь поперечного сечения; J - момент инерции сечения относительно главной оси инерции, перпендикулярной плоскости изгиба.

Как не допустить появление растягивающих напряжений в сечении арки?

Для арок, выполненных из хрупкого материала (кирпич, бетон), нежелательно появление растягивающих напряжений. Поэтому для таких арок кривая давления не должна выходить за пределы ядра сечения.

(Кривая давления - это линия действия внутренней силы, передающейся вдоль арки).

Линии влияния опорных реакций в арке

Вертикальные составляющие реакций R_A и R_B определим из уравнений моментов относительно центров опор.

Линии влияния внутренних усилий в арке (способ наложения)

Пусть сечение К имеет координаты Z_K, У_K и угол наклона j. Линии влияния изгибающего момента M_K, поперечной Q_K и продольной N_K сил в этом сечении строятся на основании их общих выражений:

.

Это значит, что линии влияния М_K, Q_k, N_k можно получить, построив линии влияния , и Н, умножив их на соответствующие коэффициенты, а затем сложив ординаты. Прямые, огра­ничивающие линии влияния, носят названия: левая прямая - от опоры А до сечения К, средняя прямая - от сечения К до шарнира С, правая прямая - от шарнира С до опоры В.

Расчетное положение нагрузки на арке

Прочность материала арок проверяется по нормальным напряжениям в крайних точках поперечных сечений. Можно раздельно рассматривать линии влияния N_K и M_K и исследовать несколько положений нагрузки на арке. Порядок расчета следующий:

1) определяется расчетное положение нагрузки по положительной части л. в. M_K; вычисляется значение момента и соответствующее ему значение продольной силы ;

2) определяется расчетное положение нагрузки по отрицательной части л. в. М_K вычисляется значение момента и соответствующее ему значение продольной силы ;

3) определяется расчетное положение нагрузки по л. в. N_K; вычисляется значение продольной силы и соответствующее ему значение момента ;

4) при каждом из этих трех положений определяются нормальные напряжения в крайних точках сечения и из них выбираются численно наибольшие для каждого знака.

Данный метод является приближенным, так как линии влияния изгибающего момента и продольной силы отличаются по своей форме, и расчетные положения нагрузки для них различны.

Тема 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ МЕТОДОМ МОРА

Цель определения перемещений

Определение перемещений необходимо:

1) для оценки жесткости конструкции;

2) при расчетах статически неопределимых систем;

3) при решении задач динамики.

Сооружения, машины, механизмы и т. п. должны быть не только прочными, но и достаточно жесткими. Это значит, что перемещения различных точек конструкции, возникающие при ее деформации, должны быть достаточно малыми.

При расчете статически неопределимых систем, как известно, уравнений статики недостаточно. Необходимо привлекать уравнения совместности деформаций, связывающие перемещения различных точек системы между собой.

В задачах динамики перемещения также вычисляются на промежуточном этапе расчета, в частности, при определении динамических коэффициентов для элементов.

Достоинства метода Мора

Метод Мора является общим и универсальным методом определения перемещений. Он позволяет вычислять любые типы перемещений (удлинения, прогибы, углы поворота, углы закручивания и т. п.) для всех типов стержневых систем (балки, рамы, фермы, арки).

Что такое возможные перемещения

Под возможными перемещениями понимаются бесконечно малые перемещения точек системы, допускаемые имеющимися связями и не зависящие от заданной исходной системы сил.

Какая работа называется действительной?

Действительной называется работа данных сил (внешних или внутренних) на перемещениях и деформациях, вызванных этими же силами.

Какая работа называется возможной?

Возможной называется работа внешних или внутренних сил на возможных перемещениях или деформациях.

В чем разница при определении действительной и возможной работы внешней силы?

Действительная работа силы P_k при статическом действии ее на упругую систему равна половине произведения конечного значения этой силы на окончательное значение соответствующего ей перемещения D _kk (теорема Клапейрона; справедлива для любой линейно деформируемой системы): .

При вычислении возможной работы силы Р_m следует брать не половину, а полную величину произведения каждой силы на соот­ветствующее возможное перемещение D_mm: .

Принцип возможных перемещений

В общем случае этот принцип формулируется так: для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных работ всех действующих на нее активных сил на любых бесконечно малых возможных перемещениях точек системы была равна нулю:

где - возможная работа внешних сил на возможных перемещениях; - возможная работа внутренних сил на возможных деформациях.

Принцип Лагранжа в упругих системах

Для равновесия упругой системы необходимо и достаточно, чтобы сумма возможных работ всех действующих на систему сил на любых малых возможных перемещениях ее точек была равна нулю:

где A - возможная работа внешних сил; W - возможная работа внутренних сил (напряжений).

Упругие перемещения точек в линейно деформируемых системах хотя и конечны, но весьма малы по сравнению с размерами элементов. Эти перемещения можно принять в качестве возмож­ных, так как они удовлетворяют наложенным связям.

К каким системам может быть применен принцип Лагранжа?

Принцип Лагранжа может быть применен к любой системе, находящейся в состоянии равновесия: к абсолютно жесткому телу, к упругому, вязкому или упругопластическому деформируемому телу (в случае малых деформаций).

Почему работа внутренних сил считается отрицательной?

Эта работа отрицательна, поскольку направления внутренних сил и деформаций, вызванных внешними силами, противоположны.

Формула Мора для плоской стержневой системы

где - внутренние усилия в «единичном» состоянии; - внутренние усилия в «грузовом» состоянии; ЕА, GA, EI - жесткости при растяжении-сжатии, сдвиге и изгибе; - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений при изгибе по сечению.

Порядок определения перемещений с помощью интеграла Мора:

1) необходимо найти выражения внутренних усилий на отдельных участках системы от заданной нагрузки (в «грузовом» состоянии);

2) по направлению искомого перемещения следует приложить единичное усилие (для линейных перемещений - сосредоточенную силу, для угловых - момент);

3) необходимо найти выражения внутренних усилий в сечениях отдельных участков системы от единичного усилия (в «единичном» состоянии);

4) подставив найденные выражения усилий в формулу Мора, следует определить искомое перемещение интегрированием по отдельным участкам системы и суммированием результатов.

Если найденное перемещение положительно, то оно совпадает с направлением приложенной единичной силы, если отрицательно - противоположно ему.

В чем отличие формулы Мора для балок от соответствующей формулы для любой плоской системы?

При изгибе балок и плоских рам основное влияние на переме­щения имеют изгибающие моменты. Обозначим: l - длина элемента, h - высота поперечного сечения. Возможны следующие случаи:

1) если l/h > 8, то в формуле Мора допускается учитывать толь­ко изгибающие моменты:

2) если 5≤ l/h ≤8, то необходимо учесть и поперечные силы;

3) если l/h < 5, то применение интеграла Мора дает большие погрешности в расчетах, поэтому перемещения следует определять методами теории упругости.

Правило Верещагина: записать формулу для вычисления перемещений и указать условия ее применимости

Для вычисления интеграла Мора можно использовать способ Верещагина:

где EI — изгибная жесткость; - площадь «грузовой» эпюры ; - ордината «единичной» эпюры , взятая под центром тяжести эпюры .

Следует помнить, что ордината должна быть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Результат будет положительным, если центр тяжести одной эпюры и ордината расположены по одну сторону от оси стержня.

Если обе перемножаемые эпюры линейные, то операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

Применение формулы Симпсона для определения перемещений в балках и рамах

Для вычисления интеграла Мора можно использовать способ Симпсона:

где EI - изгибная жесткость; а, b, f — крайние и средняя ординаты эпюры ; с, d, g - крайние и средняя ординаты .

Применение формулы Симпсона для определения перемещений в балках и рамах для двух прямолинейных эпюр

В частном случае, когда обе перемножаемые эпюры и линейные

где EI - изгибная жесткость; а, b - крайние и средняя ординаты эпюры ; с, d - крайние и средняя ординаты .

Заметим, что для разных участков одной и той же системы можно использовать различные способы перемножения эпюр.