Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Производная функции одной переменной

Приращение функции

Понятие приращения аргумента и приращения функции.

Пусть x – произвольная точка, ледащая в некоторой окрестности фиксированной точки x₀. разность x – x₀ называется приращение независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается Δx. Таким образом,

Δx = x –x₀,

откуда следует, что

x = x₀ + Δx.

Говорят также, что первоначальное значение аргумента x₀ получило приращение Δx. Вследствие этого значение функции f изменится на величину

f(x) – f(x₀) = f (x₀ +Δx) – f(x₀).

Эта разность называется приращением функции f в точке x₀, соответствующим приращению Δx, и обозначается символом Δf (читается «дельта эф»), т.е. по определению

Δf = f (x₀ + Δx) – f (x₀),

откуда

f (x) = f (x₀ +Δx) = f (x₀) + Δf.

При фиксированном x0 приращение Δf есть функция от Δx. Δf называют также приращение зависимой переменной и обозначают через Δy для функции y = f(x).

Определение непрерывной в точке функции через приращение.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_{x → x0} f(x), равный значению функции f(x) в этой точке:

т.е.

Производная функции одной переменной

Определение производной функции в точке.

Пусть в некоторой окрестности точки определена функция Производной функции в точке называется предел, если он существует,

Геометрический смысл производной и дифференциала.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x₀, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной

f'(x₀) = tg a.

Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной имеет вид:

У = f'(x₀) • (x - x₀) + f(x₀)

Если функция у = f(x) имеет в точке x₀бесконечную производную, то ее касательной является вертикальная прямая х = х₀.

Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x₀) 0, то уравнение нормали имеет вид:

Понятие дифференцируемости функции в точке.

Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение Δ y в точке x 0 может быть представлено в виде: Δ y = A ·Δ x +α(Δ x)·Δ x, где A -- некоторое число, независящее от Δ x, а α(Δ x)-- бесконечно малая функция от переменной Δ x, т.е. limΔ x →0α(Δ x)=0.

Теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости ã.

Теорема
Для того, чтобы функция y = f (x) была дифференцируема в точке x 0, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.