Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Приближение функций многочленами. Многочлены Тейлора.

Читайте также:
  1. I Справка по содержанию аргументов финансовых функций
  2. Microsoft Excel. Назначение и синтаксис функций ВПР, ИНДЕКС.
  3. Microsoft Excel. Назначение и синтаксис функций ДАТА, ВРЕМЯ, ТДАТА, СЕГОДНЯ.
  4. VII. Разделите следующие явления на общие и частичные нарушения функций мозга
  5. А14. Какую из перечисленных функций корни не выполняют?
  6. Анализ инвестиций с помощью функций MS Excel
  7. Анализ инвестиций с помощью функций MS Excel.
  8. Билет 47. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции. Сравнение функций. Эквивалентные функции
  9. Бюджетные ассигнования на обеспечение выполнения функций бюджетных организаций
  10. В экономической литературе до сих пор не установилось единого мнения о числе, содержании и реализации налоговых функций.

Пусть у=f(x) на практике часто эта величина подлетит определению. Иногда зависимость известна но на столько сложна что её использование в практических расчетах затруднено(например она описывает громоздкое выражение сложными интегралами и т.п.) В таких случаях данную функцию f(x) приближенно заменяют (аппроксимируют) некоторой другой функцией ϕ(х) так что бы отклонение функции f(x) от функции ϕ(х) в заданной области и в указанном смысле было наименьшим. ϕ(х)-называется аппроксимирующей. Обычно аппроксимирующая функция находится по дискретным значениям которые являются либо результатами эксперимента либо результатами расчетов. При аппроксимации (приближении) функции решаются следующие основные задачи: 1)Выбор критерия близости функции; 2)Выбор вида аппроксимирующей функции; 3) Оценка параметров функции обеспечивающих наименьшие отклонение от экспериментальных данных в указанном смысле. В качестве аппроксимирующих функций широко используются многочлены ϕ(x)=Pn(x)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn (1). В этом случае задача аппроксимации сводится к определенной степени многочлена (1) и нахождению его коэффициентов aj j=0,n обеспечивающих наименьшее отклонение многочлена от функции f(x). Критерий близости функций определяется физической интерпретацией исследуемой зависимости, различают разномерное и среднеквадратичное приближение. При равномерном приближении выполняется требование, чтобы во всех точках отрезка [a;b] отклонение многочлена Pn(x) от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины ε>0 ||Pn(x)-f(x)||c=maxx€[a;b]|Pn(x)-f(x)|<ε (2) Возможность построения многочлена равномерно приближающую данную функцию следует из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации. ϕ(x)=Pn(x)=a0 +a1x+a2x2+…+anxn (1) Теорема: Если функция f(x) непрерывна [a;b] то для любого ε>0 существует многочлен Pn(x) степени n=n(ε) абсолютное отклонение которого мот функции f(x) на [a;b] меньше ε. В частности если f(x) на [a;b] разлагается в ряд Тейлора(равномерно сходящийся степенной ряд) то в качестве аппроксимирующего многочлена можно взять частичную сумму этого ряда. При среднеквадратичном приближении в качестве критерия близости 2х непрерывных на [a;b] функций используется норма ||f(x)-Pn(x)||=√((1/b-a)∫ab[Pn(x)-f(x)]2dx) (3) На дискретном множестве точек {xi;yi} i=0,m; мерой отклонения многочлена Pn(x) от заданной функции f(x) может служить норма в пространстве (m+1)-мерных векторов ||f(x)-Pn(x)||=√((1/m+1)∑i=0m[Pn(xi)-f(xi)]2)

Многочлены Тейлора. Многочлены Тейлора обычно используются для аппроксимации и приближенного значения значений аппроксимирующей функции. Действительная функция f(x) называется аналитической в точке x0 если в некоторой окрестности этой точки функция разлогается в степенной ряд. Ряд Тейлора: f(x)=f(x0)+ f’(x0)(x-x0)+ f’’(x0)(x-x0)2/2!+…+ f(n)(x0)(x-x0)/n!+.. Пусть задана функция f(x)€Cn+1[a;b] многочленом Тейлора n-й степени от функции f(x) в точке x0€[a;b] называется многочлен Qn(x)=∑k=0 nf(k)(x0)(x-x0)k/k! K=0,1,...,n Очевидно что в точке х=х0 все производные многочлена Тейлора до порядка n-включительно совпадают с соответствующими производными функции f(x) поэтому многочлен Тейлора достаточно хорошо приближает f(x) Погрешность возникает при замене функции f(x) выражается остаточным членом формулы Тейлора из ма.анализа. Т.к. Производная f(n+1) (x)-не прерывна на [a;b] то следовательно она ограничена на [a;b] f(x)-Qn(x)=f(n+1) (Ѯ)(x-x0)n+1/(n+1)! (3) На основании (3) имеем оценку погрешности апроксимации в некоторой точке х €[a;b] и оценку погрешности на всём [a;b] Mn+1=maxx€[a;b] |f(n+1) (x)|<∞; |f(x)-Qn(x)|≤ Mn+1| x -x0|n+1/(n+1)!; ||f(x)-Qn(x)||= maxx€[a;b] ||f(x)-Qn(x)||≤ Mn+1/(n+1)!; l=max{x0-a;b-x0}. На практике многочлены Тейлора используются для апроксимации функций у которых просто вычисляются старшие производные а остаточный член стремится к 0 при n→∞. Это прежде всего основные элементарные функции. Если функция разлогается в знакочередующийся ряд модули членов которого монотонно убывают то при её приближении соответствующим многочленам Тейлора ошибка апроксимации не превышает модуля первого из отброшеных членов ряда.

Недостатки многочлена Тейлора: Погрешность достаточно быстро убывает при приближении х к х0 и резко возрастает на конце [a;b] который наиболее удалён от х0. Другой недостаток в том что для построения многочлена Тейлора требуется находить у функции f(x) производные высоких порядков

 

23)




Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 37 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | <== 3 ==> | 4 | 5 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав