Читайте также:
|
|
При обработке экспериментальных данных обычно имеют дело с функциональными зависимостями заданными в форме таблицы. Необходимое вычисление функций в точках отлычных от значений аргументов из таблицы прибодят к математической постановке и решению задачи интерполирования. Задача: Пусть известны значения y=f(x) в точках xi: y1=f(x1);…; yi=f(xi)… yn=f(xn) Точки х0, х1, х2,…, хi,…, хn, называются узлами интерполяции. Требуется построить функцию F(x)-интерполирующая функция принадлежащая известному классу и принимающая в узлах интерполяции те же значения что и f(x). y0=F(x0);…; yi=F(xi)… yn=F(xn). Полученную интерполирующую функцию используют для приближённого вычисления значений данной функции f(x) в точках х отличных от узлов интерполирования, такая операция называется интерполяцией функции f(x). При этом различаю интерполяцию в узком смысле когда точка х €[х0;хn] и называется экстраполированием когда х не принадлежит [х0;хn]. Основными задачами возникающими при интерполяции являются: 1) Выбор типа интерполирующей функции и наиболее удобного способа её построения в зависимости от конкретной задачи. 2) Оценка погрешности пери замене функции f(x) интерполирующей функцией F(x) на отрезке [x0;xn]. Оптимальный выбор излов интерполяции для получения минимальной погрешности.
Интерполяционный многочлен Лагранжа. В общей постановке задача интерполирования может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений, задача становится однозначной если в качестве интерполирующей функции F(x) выбрать многочлен Pn(x) степени не выше n такой что: y0=Pn(x0);…; y1=Pn(x1)… yn=Pn(xn) (1) Многочлен удовлетворяющей (1) называется интерполяционным многочленом. Теорема: Для любых значений yi=f(xi) i=0,n и (n+1) различных узлов интерполяции xi существует единственный интерполяционный многочлен удовлетворяющий условию f(xi)=Pn(xi) i=0,n (2) Д-во: Представим Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (3) Запишем (2) в резвёрнутой форме с учётом (3) получаем: { a0+a1x0+a2x0 2+…+anx0 n=y0; a0+a1x1+a2x1 2+…+anx1 n=y1;…..; a0+a1xn+a2xn 2+…+anxn n=yn; (4) Получим систему линейных алгебраических уравнений содержащих (n+1) неизвестную Определитель матрицы системы (4) это есть определитель Вандер-Монда ∆=|1, x0, x02,…,x0n; 1, x1, x12,…,x1n;…..; 1, xn, xn2,…,xnn; |=П(xj-xi) 0≤i<j≤n Равный произведению всевозможных разностей узлов. Т.к. узлы различны то определитель не может быть равен 0 поэтому решение системы уравнений (4) существует и единственно от сюда следует утверждение теоремы. Заметим что построение интерполционного многочлена на основе решения системы (4) через определители требует значительного объема вычислений особенно при большем числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n. Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x) (5) При этом потребуем чтобы каждый многочлен li(xi)-обращался в 0 во всех узлах интерполяции за исключением одного i-го числа где он должен равняться 1. li(xi)={0, i≠j; 0,i=j; i=0,n j=0,n; Легко проверить что этим условиям отвечает многочлен вида: li(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn) (6) Подставляя (6) в (5) получаем: Ln(x)= ∑i=0 nyi(x-x0)(x-x1)…(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xn) (7) Интерполяционный многочлен в форме (7) называется интерполяциооным многочленом Лагранжа. Замечание: Т.к. Интерполяцирнный многочлен (7) линейно зависит от yi=f(xi) то интерполяционный мночлен для суммы равен сумме интерполяционных многочленов для слогаемых.
24)
Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |