Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Диктант

Читайте также:
  1. Диктант как один из основных видов работы при обучении правописанию
  2. Диктант №7
  3. ДИКТАНТ.
  4. Диктант.
  5. Диктанти. Методика проведення контрольного диктанту.
  6. Контрольные работы (диктанты, списывания, изложения).
  7. КОНТРОЛЬНЫЙ ДИКТАНТ.
  8. Критерии оценки диктанта.
  9. Літературний диктант

1. Пространством элементарных исходов Ω называется множество, содержащее все возможные взаимоисключающие результаты данного случайного эксперимента. Элементы этого множества называются элементарными исходами.

Событиями называются подмножества множества Ω. Элементарный исход называется благоприятствующим событию А, если при этом исходе событие А происходит.

Событие А называется достоверным, если ему благоприятствует любой элементарный исход. Это означает, что достоверное событие произойдет всегда.

Событие А называется невозможным, если множество благоприятствующих исходов для него пусто. Невозможное событие никогда не происходит.

Случайное событие может произойти, а может и не произойти в результате данного случайного эксперимента.

2. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в выполнении события А или события В, или обоих вместе. Записывается: С = А + В.

Произведением двух событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в совместном выполнении событий А и В.

Разностью событий А и В называется событие С, которое происходит только тогда, когда А происходит, а В нет. Это означает, что множество благоприятствующих исходов событию С состоит из таких исходов, которые входят в А, но не входят в В. Записывается: С = А\В = А – В.

Противоположным к событию А называется событие, которое происходит только тогда, когда А не происходит. Это означает, что событие (не А) состоит из элементарных исходов, которые не входят в событие А. Записывается: = Ω - А.

3. Совместные и несовместные события.

События А и В называются несовместными, если их пересечение - пустое множество (невозможное событие): , т.е. одновременно эти два события произойти не могут. События А и В называются совместными, если их пересечение не пусто: , т.е. могут произойти одновременно.

4. События образуют полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме (объединении) дают все пространство элементарных исходов . В частности, события А, В, С – полная группа, если

а)

б)

5. Два события А и В назовем независимыми, если P(AB) = P(A)P(B). Другими словами, вероятность одновременного наступления этих событий равна произведению вероятностей данных событий. Или тоже самое, но другими словами: событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: P(A/B) = P(A).

События называются зависимыми, если они не являются независимыми, то есть для них справедливо P(AB) P(A)P(B).

6. А, В, С независимы в совокупности, если

P(AB) = P(A)P(B);

P(BC) = P(B)P(C);

P(AC) = P(A)P(C);

P(ABC) = P(A)P(B)P(C).

Иначе зависимы в совокупности.

7. А, В, С попарно независимы, если

P(AB) = P(A)P(B);

P(BC) = P(B)P(C);

P(AC) = P(A)P(C).

Иначе попарно зависимы.

8. P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB).

9. P(A+B) = P(A) + P(B).

10. P(A+B+С) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(AC) + P(ABC).

11. P(A+B+С) = P(A) + P(B) + P(C).

 

12. Вероятностью события A называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию A к общему числу всех равновозможных исходов данного случайного эксперимента, в котором может появиться это событие.

13. Геометрическая вероятность определяется по формуле:

14. 1.Аксиома неотрицательности:

2. Аксиома нормированности: вероятность достоверного события равна 1 (Р(Ω)=1).

3.Аксиома аддитивности: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей

P(A+B) = P(A) + P(B).

 

15. 1. P() = 1 – P(A).

2. P() = 0. Вероятность невозможного события равна нулю.

3. Если события попарно несовместны, то

4. Если , то

5. Вероятность каждого события удовлетворяет неравенству

16. Вероятностью события А при условии, что произошло событие В (P(B)>0), называется число

17.

18. Пусть образуют полную группу попарно несовместных событий (являются гипотезами), тогда вероятность события А можно вычислить по формуле полной вероятности:

19. Пусть образуют полную группу попарно несовместных событий (являются гипотезами), тогда вероятность гипотезы после наступления события А можно вычислить по формуле Байеса:

20. Схемой Бернулли называется последовательность независимых в совокупности испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода – «успех» и «неудача», при этом успех в одном испытании происходит с вероятностью p, а неудача с вероятностью q=1-p.

21. Вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли будет ровно k успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

 

22.

23. Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли находится в следующих границах: np+p.

24. Если n велико, p мало (обычно p<0.1; npq ), вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона: , где .

25. Если n велико, p не мало (обычно npq ), вместо формулы Бернулли применяют теоремы Муавра-Лапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа: , где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа: , где

26. Функцией распределения случайной величины ξ называется функция

Свойства функции распределения:

а) непрерывна слева;

б) неубывающая функция: если x < y, то

в)

 

27. Плотностью непрерывной случайной величины ξ называется функция Свойства:

а) неотрицательность:

б)

в) .

г)Обозначим через <х1, х2> один из интервалов (конечный или бесконечный) вида [х1, х2], [х1, х2), (х1, х2], (х1, х2). Тогда

Р{ξÎ<х1, х2>} = F(х2) – F(х1) =

д) Р{ξ = x} = 0.

 

28. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной с.в. ξ называется величина Мξ, равная сумме произведений значений хk с.в. ξ на соответствующие им вероятности рk (k = 1, 2, …, n, …): Мξ = . При этом предполагается, что ряд в правой части формулы абсолютно сходится, т.е.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле: Mξ = . При этом предполагается, что интеграл в правой части формулы абсолютно сходится, т.е. .

 

29. Дисперсия дискретной случайной величины определяется по формуле: = М2) – (М ξ)2, где

М2) =

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется по формуле: = М2) – (М ξ)2, где

М2) =

 

30.

1) Мат. ожидание константы есть константа: Mc=c;

2) Если то M

3) Мат. ожидание суммы случайных величин есть сумма мат. ожиданий: M() = M ;

4) Константу можно вынести за знак мат. ожидания: M(c ) = cM

5) Если случайные величины независимы, то M() = M .

 

31.

1) Дисперсия случайной величины всегда неотрицательна: D

2) Дисперсия константы есть ноль: Dc=0;

3) D

4) D(c ) = D

5) Если случайные величины независимы, то D() = D .

 

 

32. Случайная величина ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и p (n – натуральное число, 0 £ p £ 1), если она принимает значения 0, 1, …, n с вероятностями

.

Биномиальное распределение является распределением числа “успехов” в n испытаниях Бернулли с вероятностью “успеха” p и “неудачи” q = 1 – p в каждом испытании.

Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ: M x = np, D x = npq.

33. Случайная величина ξ имеет геометрическое распределение с параметром p (0 < p < 1), если она принимает значения 1, 2, …, n, …. (счетное множество значений) с вероятностями

.

Геометрическое распределение является распределением числа испытаний Бернулли до появления первого “успеха”, если вероятность “успеха” в каждом испытании равна p.

Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ: .

34. Случайная величина ξ имеет распределение Пуассона с параметром l (l > 0), если она принимает значения 0, 1, …, n, …. (счетное множество значений) с вероятностями

.

Математическое ожидание и дисперсия с.в. ξ совпадают: M x = D x = l.

35. Случайная величина ξ имеет равномерное распределение на отрезке [ a, b ], где a < b, если её плотность распределения p (x) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его:

Функция распределения с.в. ξ, распределенной по равномерному закону на отрезке [ a, b ], имеет вид

 

Графики функций p (x) и F (x) приведены на рис. 9.1.

 

 

Рис.9.1. Плотность и функция распределения равномерного закона

 

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной с.в. ξ: .

36. Случайная величина ξ имеет показательное (или экспоненциальное) распределение с параметром l (l > 0), если её плотность распределения p (x) имеет вид

Функция распределения с.в. ξ, распределенной по показательному закону, равна

Графики функций p (x) и F (x) приведены на рис. 9.2.

 

 

 

Рис.9.2. Плотность и функция распределения показательного закона

 

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной с.в. ξ:

 

.

 

37. Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с параметрами a и s (– ¥ < a < ¥, s > 0), если её плотность распределения p (x) выражается формулой

,

а функция распределения

,

где

– функция Лапласа.

Подчиненность с.в. x нормальному закону распределения с параметрами a и s символически обозначается x ~ N (a, s).

Графики функций p (x) и F (x) приведены на рис. 9.3.

 

 

Рис.9.3. Плотность и функция распределения нормального закона

 

Математическое ожидание с.в., распределенной по нормальному закону, равно параметру a, дисперсия равна s2:

M x = a, D x = s2.

Нормальное распределение при a = 0 и s = 1 называется стандартным нормальным. Плотность и функция распределения этого закона распределения равны соответственно

и , – ¥ < x < ¥.

38. Теорема. Пусть с.в. x ~ N (a, s) и <х 1, х 2 > один из интервалов (конечный или бесконечный) вида [ х 1, х 2], [ х 1, х 2), (х 1, х 2], (х 1, х 2). Тогда

 

1) ;

2) для любого числа e > 0.




Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 15 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.019 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав