Читайте также:
|
|
Лекція 5
Теорема 5.1. Якщо система векторів лінійно залежна, то після приєднання до неї будь-якої кількості нових векторів знову утворюється лінійно залежна система.
Доведення. Це випливає із рівності
в якій серед є такі, які відрізняються від нуля, а всі
,…, .
Нехай задано систему векторів . Будь-яку частину цієї системи векторів назвемо її підсистемою. Тоді теорему 3.1 можна сформулювати так: Якщо будь-яка підсистема даної системи векторів лінійно залежна, то і сама система, лінійно залежна.
Для системи лінійно незалежних векторів справедливе таке твердження:
якщо система складається із лінійно незалежних векторів, то будь-яка її підсистема також складається із лінійно незалежних векторів.
Теорема 5.2. Для того щоб система із к векторів була лінійно залежною, необхідно і достатньо, щоб хоча б один із п векторів був лінійною комбінацією решти векторів.
Теорема 5.3. Будь-яка система векторів, до якої входить нуль-вектор, є лінійно залежною.
Теорема 5.4. Якщо система векторів 1, 2,..., k лінійно незалежна, а система векторів 1, 2,..., k, - лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією решти векторів системи.
Доведення. Рівність
можлива лише при 0, тому що в протилежному випадку дана система буде лінійно незалежною. З останньої рівності знаходимо
Позначивши ; ;…; ,
Дістанемо
Теорема 5. 5. Якщо .... — лінійно незалежна система векторів, а вектор не можна подати у вигляді лінійної комбінації цих векторів, то система векторів .... , є лінійно незалежною.
Цю теорему легко довести від супротивного.
Дата добавления: 2015-04-26; просмотров: 31 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |