Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Извлечение корня из комплексного числа.

Определение 7.7. Комплексное число называется корнем n -й степени из z, если z = z ₁ ⁿ.

Из определения следует, что . Так как аргумент комплексного числа определен не однозначно, можно получить n различных значений для аргумента z₁: , где φ₀ – одно из значений arg z, а k = 1, 2,…, n -1. Окончательно формулу, задающую все значения , можно записать в виде:

(7.3)

Пример. Число z = 16 можно представить в тригонометрической форме следующим образом: z = 16(cos0 + i sin0). Найдем все значения :

Показательная форма комплексного числа.

Введем еще одну форму записи комплексного числа. На множестве комплексных чисел существует связь между тригонометрическими и показательными функциями, задаваемая формулой Эйлера:

, (7.4)

справедливость которой будет доказана в дальнейшем. Используя эту формулу, можно получить из (7.1) еще один вид комплексного числа: (7.5)

Определение 7.8. Запись вида (7.5) называется показательной формой записи комплексного числа.

Представление (7.5) позволяет легко интерпретировать с геометрической точки зрения операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, используя известные свойства показательной функции.