Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Стойкость криптосистем

Читайте также:
  1. Возгораемость и огнестойкость зданий и сооружений
  2. Классификация производств по пожарной опасности. Огнестойкость зданий и сооружений.
  3. Морозостойкость бетона
  4. Морозостойкость и факторы, влияющие на морозостойкость.
  5. Нравственная стойкость
  6. Стойкость инструмента и критерии затупления.
  7. Терпение, выдержка и стойкость — признаки преобразований в витальном существе

 

В теоретической криптографии существуют два основных подхода к определению стойкости криптосистем и криптографических прото­колов (в дальнейшем мы будем также использовать общий термин - криптографические схемы): теоретико-информационный и теоретико-сложностный. Теоретико-информационный подход предполагает, что противник, атакующий криптографическую схему, не имеет даже тео­ретической возможности получить информацию, достаточную для осу­ществления своих целей. Классическим примером здесь может служить шифр Вернама с одноразовыми ключами, абсолютно стойкий против пассивного противника.

Подавляющее большинство используемых на практике криптогра­фических схем не обладает столь высокой стойкостью. Более того, обычно бывает несложно указать алгоритм, который выполняет сто­ящую перед противником задачу, но не практически, а в принципе. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1 (Криптосистема с открытым ключом). Криптосис­тема с открытым ключом полностью определяется тремя алгоритма­ми: генерации ключей, шифрования и дешифрования. Алгоритм гене­рации ключей G общедоступен; всякий желающий может подать ему на вход случайную строку r надлежащей длины и получить пару ключей (K1,K2). Открытый ключ K1публикуется, а секретный ключ K2 и случайная строка rхранятся в секрете. Алгоритмы шифрования Ек1 и дешифрования DK2 таковы, что если (К1, К2) — пара ключей, сгенери­рованная алгоритмом G, то DK2(EK1(m)) = т Для любого открытого текста т. Для простоты изложения предполагаем, что открытый текст и криптограмма имеют одинаковую длину п. Кроме того, считаем, что открытый текст, криптограмма и оба ключа являются строками в дво­ичном алфавите.

Предположим теперь, что противник атакует эту криптосистему. Ему известен открытый ключ К1, но неизвестен соответствующий се­кретный ключ K2. Противник перехватил криптограмму d и пытается найти сообщение m, где d = EK1 (m). Поскольку алгоритм шифрования общеизвестен, противник может просто последовательно перебрать все возможные сообщения длины n, вычислить для каждого такого сооб­щения mi криптограмму di = EK1(mi) и сравнить di с d. To сообщение, для которого di = d, и будет искомым открытым текстом. Если пове­зет, то открытый текст будет найден достаточно быстро. В худшем же случае перебор будет выполнен за время порядка 2^n*Т(n), где Т(п) -время, требуемое для вычисления функции Ek1 л от сообщений длины n. Если сообщения имеют длину порядка 1000 битов, то такой перебор неосуществим на практике ни на каких самых мощных компьютерах.

Мы рассмотрели лишь один из возможных способов атаки на кри­птосистему и простейший алгоритм поиска открытого текста, назы­ваемый обычно алгоритмом полного перебора. Используется также и другое название: “метод грубой силы”. Другой простейший алгоритм поиска открытого текста — угадывание. Этот очевидный алгоритм требует небольших вычислений, но срабатывает с пренебрежимо малой вероятностью (при больших длинах текстов). На самом деле противник может пытаться атаковать криптосистему различными способами и использовать различные, более изощренные алгоритмы поиска откры­того текста. Естественно считать криптосистему стойкой, если любой такой алгоритм требует практически неосуществимого объема вычи­слений или срабатывает с пренебрежимо малой вероятностью. (При этом противник может использовать не только детерминированные, но и вероятностные алгоритмы.) Это и есть теоретико-сложностной под­ход к определению стойкости. Для его реализации в отношении того или иного типа криптографических схем необходимо выполнить следу­ющее:

1)дать формальное определение схемы данного типа;

2)дать формальное определение стойкости схемы;

3)доказать стойкость конкретной конструкции схемы данного ти­
па.

Здесь сразу же возникает ряд проблем.

Во-первых, в криптографических схемах, разумеется, всегда ис­пользуются фиксированные значения параметров. Например, крипто-системы разрабатываются для ключей длины, скажем, в 256 или 512 байтов. Для применения же теоретико-сложностного подхода необхо­димо, чтобы задача, вычислительную сложность которой предполага­ется использовать, была массовой. Поэтому в теоретической крипто­графии рассматриваются математические модели криптографических схем. Эти модели зависят от некоторого параметра, называемого пара­метром безопасности, который может принимать сколь угодно большие значения (обычно для простоты предполагается, что параметр безопас­ности может пробегать весь натуральный ряд).

Во-вторых, определение стойкости криптографической схемы зави­сит от той задачи, которая стоит перед противником, и от того, какая информация о схеме ему доступна. Поэтому стойкость схем приходит­ся определять и исследовать отдельно для каждого предположения о противнике.

В-третьих, необходимо уточнить, какой объем вычислений можно считать “практически неосуществимым”. Из сказанного выше следу­ет, что эта величина не может быть просто константой, она должна быть представлена функцией от растущего параметра безопасности. В соответствии с тезисом Эдмондса алгоритм считается эффективным, если время его выполнения ограничено некоторым полиномом от длины входного слова (в нашем случае — от параметра безопасности). В про­тивном случае говорят, что вычисления по данному алгоритму прак­тически неосуществимы. Заметим также, что сами криптографические схемы должны быть эффективными, т. е. все вычисления, предписанные той или иной схемой, должны выполняться за полиномиальное время.

В-четвертых, необходимо определить, какую вероятность можно считать пренебрежимо малой. В криптографии принято считать та­ковой любую вероятность, которая для любого полинома р и для всех достаточно больших п не превосходит 1/р(п), где n — параметр безо­пасности.

Итак, при наличии всех указанных выше определений, проблема обо­снования стойкости криптографической схемы свелась к доказатель­ству отсутствия полиномиального алгоритма, который решает задачу, стоящую перед противником. Но здесь возникает еще одно и весьма се­рьезное препятствие: современное состояние теории сложности вычи­слений не позволяет доказывать сверхполиномиальные нижние оценки сложности для конкретных задач рассматриваемого класса. Из этого следует, что на данный момент стойкость криптографических схем мо­жет быть установлена лишь с привлечением каких-либо недоказанных предположений. Поэтому основное направление исследований состоит в поиске наиболее слабых достаточных условий (в идеале — необходимых и достаточных) для существования стойких схем каждого из типов. В основном, рассматриваются предположения двух типов — общие (или теоретико-сложностные) и теоретико-числовые, т. е. предположения о сложности конкретных теоретико-числовых задач. Все эти предполо­жения в литературе обычно называются криптографическими.

Ниже мы кратко рассмотрим несколько интересных математиче­ских объектов, возникших на стыке теории сложности и криптографии.




Дата добавления: 2015-04-26; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Тема: Тульский край в начале XX в.| Криптография и гипотеза P≠NP

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав