Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Опр. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех выполняется неравенство .

Опр. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n выполняться неравенство:.

Возрастающие (убывающие) числовые последовательности называются монотонными.

Опр. Последовательность называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: ;

Если для числовой последовательности такого числа нет, то последовательность называется неограниченной.

2) Опр. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такое натуральное число n, что для всех выполняется неравенство: .

Опр. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа существует такое натуральное число, что для всех выполняется неравенство.

Теорема: Если бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно малая и обратно: если бесконечно малая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность бесконечно большая.

3) Опр. Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа существует такое натуральное число , что для всех , выполняется неравенство: .

Предел числовой последовательности обозначается: .

Из определения числовой последовательности следует, что постоянная последовательность имеет предел равный , а бесконечно малая последовательность, предел равный 0.

Теорема (условие существования предела последовательности): если числовая последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет предел.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящаяся, не имеющая предел, расходящаяся.

Очевидно, что бесконечно большая последовательность не имеет предела в том смысле, как этот предел был определен. Однако считают, что бесконечно большая последовательность имеет предел равный : .

Если при этом, начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут: .

Во всех этих случаях говорят, что последовательность имеет бесконечный предел, в связи с этим, первоначально определенный предел последовательности называют конечным пределом.

Опр. Функцией или отображением множества X во множество Y, называется правило f по которому, каждому элементу x множества X поставлен в соответствие единственный элемент y множества Y.

Для обозначения числовой функции обычно используется запись: , где x называется независимой переменной или аргументом, y – зависимый элемент или функция.

Множество X называется областью определе ния или областью существования функции. Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции допускается область допустимых значений зависимой переменной x.

Соответствующая всем значениям аргумента совокупность значений функции называется областью значений или областью изменения функции.

Способы задания функции: