Читайте также:
|
|
Постановка задачи
Пусть дана некоторая функция f(x) и требуется найти все или некоторые значения x, для которых
f(x) = 0. (2.1)
Значение x*, при котором f(x*) = 0, называется корнем (или решением) уравнения (2.1).
Относительно функции f(x) часто предполагается, что f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.
Корень x* уравнения (2.1) называется простым, если первая производная функции f(x) в точке x* не равна нулю, т. е. f '(x*) 0. Если же f '(x*) = 0, то корень x* называется кратным корнем.
Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f(x) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f(x), имеющей четыре корня: два простых (x и x ) и два кратных (x и x ).
Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).
Основные этапы отыскания решения
В процессе приближенного отыскания корней уравнения (2.1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение) корня и уточнение корня.
Локализация корня заключается в определении отрезка [a, b], содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. В некоторых случаях отрезок локализации может быть найден из физических соображений. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f(x). На наличие корня на отрезке [a, b] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием для этого служит следующая теорема математического анализа.
Теорема 2.1. Если функция f непрерывна на отрезке [a, b] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f(a)f(b) < 0, то отрезок [a, b] содержит по крайней мере один корень уравнения f(x) = 0.
Однако, корень четной кратности таким образом локализовать нельзя, так как в окрестности такого корня функция f(x) имеет постоянный знак.
На этапе уточнения корня вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью e > 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0, x1, …, xn, …, которые являются приближениями к корню x*.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 13 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |