Читайте также:
|
Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений.
Пусть корень x* О [a, b], так, что f(a)f(b) < 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b). Положим x0 = b. Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точке B0 = (x0, f(x0)) (рис. 2.8).
Рис. 2.8
Уравнение касательной будет иметь вид:
y – f(x0) = f '(x0)(x – x0). (2.11)
Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX, т. е. положив в (2.11) y = 0, x = x1:
x1 = x0 – 
. (2.12)
Аналогично поступим с точкой B1(x1, f(x1)), затем с точкой B2(x2, f(x2)), и т. д. в результате получим последовательность приближений x1, x2, …, xn, …,причем
xn +1 = xn – 
. (2.13)
Формула (2.13) является расчетной формулой метода Ньютона.
Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого
j(x) = x - 
. (2.14)
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть x* – простой корень уравнения f(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая s-окрестность корня x*, что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:
|xn + 1 – x*| Ј C |xn – x*|2, n 
0, (2.15)
где С = s -1. Оценка (2.15) означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.
Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность. Полезно иметь в виду следующее достаточное условие сходимости метода. Пусть [a, b] – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения x0 выбрать тот из концов отрезка, для которого
f(x)f"(x) і 0, (2.16)
то итерации (2.13) сходятся, причем монотонно. Рис. 2.8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: x0 = b.
Погрешность метода. Оценка (2.15) является априорной и неудобна для практического использования. На практике удобно пользоваться следующей апостериорной оценкой погрешности:
|xn – x*| Ј |xn – xn – 1|. (2.17)
Критерий окончания. Оценка (2.17) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности e > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство
|xn – xn – 1| < e. (2.18)
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 16 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| Метод простых итераций | | | Метод секущих (метод хорд) |