Читайте также:
|
|
[править]1. Необходимость
По условию теоремы существует предел
,
не зависящий от способа стремления к нулю. Положим и рассмотрим выражение
.
Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула
Полагая , находим
.
Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.
[править]2. Достаточность
По определению дифференцируемости, приращения функций и в окрестности точки могут быть записаны в виде
,
,
где функции и стремятся к нулю при , быстрее, чем и , , . Составим теперь разностное соотношение , где и преобразуем его к виду
.
Заметим, что при стремлении к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел , что и доказывает дифференцируемость функции в точке .
[править]В полярных координатах
В полярной системе координат условия Коши-Римана выглядят так:
Компактная запись:
35.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |