Читайте также:
|
|
Линия, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением второй степени, называется линией второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка принято записывать в виде:
. (1)
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами. Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Обозначим через определитель:
.
Неравенство служит признаком центральной линии второго порядка.
Пусть дано уравнение (1), определяющее центральную линию второго порядка ().
Перенося начало координат в центр этой линии и преобразуя уравнение (1) по формулам
, ,
получим:
, (2)
Для вычисления можно пользоваться формулой
,
где
.
Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи преобразования координат
(3)
соответствующего повороту осей на угол .
Если угол выбран так, что
, (4)
то в новых координатах уравнение линии примет вид
, (5)
где , .
Замечание
Уравнение (4) позволяет определить , тогда как в формулах (3) участвуют и . Зная , можно найти и по формулам тригонометрии
, .
Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения:
, ,
которые позволяют определить коэффициенты и , не проводя преобразования координат.
Уравнение второй степени называется эллиптическим, если , гиперболическим, если , и параболическим, если .
Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или гиперболическим.
Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т.е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).
Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т.е. пару пересекающихся прямых).
Пусть уравнение (1) является параболическим, т.е. удовлетворяет условию
.
В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения целесообразно начать с поворота координатных осей, т.е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул
(6)
Угол следует найти из уравнения (4), тогда в новых координатах уравнение (1) приводится либо к виду
, (7)
где , либо к виду
, (8)
где .
Дальнейшее уравнение (7), (8) достигается путем параллельного переноса (повернутых) осей.
Задание
Привести к каноническому виду каждое из следующих уравнений; определить тип линии; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
1. а) ,
б) .
2. а) ,
б) .
3. а) ,
б) .
4. а) ,
б) .
5. а) ,
б) .
6. а) ,
б) .
7. а) ,
б) .
8. а) ,
б) .
9. а) ,
б) .
10. а) ,
б) .
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 19 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |