Читайте также:
|
|
С каждой матрицей размера связана матрица размера вида
Такая матрица называется транспонированной матрицей для и обозначается так .
Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами.
2) Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:
. Эти матрицы равны, т.к. равны их размеры: и , а также соответствующие элементы: ;
3) Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:
Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.
4) Определи́тель (или детермина́нт) — одно из основных понятий линейной алгебры.
Это многочлен, комбинирующий элементы квадратной матрицы таким образом, что его значение сохраняется при транспонировании и линейных комбинациях строк или столбцов.
То есть, определитель характеризует содержание матрицы. В частности, если в матрице есть линейно-зависимые строки или столбцы, — определитель равен нулю.
Определитель играет ключевую роль в решении в общем виде систем линейных уравнений, на его основе вводятся базовые понятия.
В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
5) Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число
,
где — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из исходной матрицы путем вычёркивания i -й строки и j -го столбца.
n | |
Σ | aij·Aij = det(A) |
j = 1 |
n | |
Σ | akj·Aij = 0 (i ≠ k) |
j = 1 |
6) Ме́тод Га́усса [1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
7) Метод обратной матрицы (Матричный метод) решения систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы состоит в поиске матрицы, обратной к основной матрице, и умножению ее на матрицу свободных членов.
При решении систем уравнений методом обратной матрицы используются вычисления определителя матрицы (Для вычисления матрицы, обратной к основной матрице системы уравнений). Для того, чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, тоесть матрица должна быть невырожденной.
8) Ме́тод Кра́мера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера(1704—1752), предложившего этот метод в 1750 г.
9) Вектором называется направленный отрезок , где точка - начало, точка - конец вектора.
Суммой векторов и называют такой третий вектор , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают.
Разностью векторов и называется вектор такой, что выполняется условие: .
Произведением вектора на число называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1.
2.
3. , если , , если .
10) 1. При сложении двух (или большего числа) векторов их соответственные координаты складываются:
(x 1; y 1; z 1) + (x 2; y 2; z 2) = (x 1 + x 2; y 1 + y 2; z 1 + z 2).
В самом деле, для двух векторов (x 1; y 1; z 1) и (x 2; y 2; z 2) имеем
(x 1; y 1; z 1) + (x 2; y 2; z 2) =
= (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3) + (x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3) =
= (x 1 + x 2) e 1 + (y 1 + y 2) e 2 + (z 1 + z 2) e 3 =
= (x 1 + x 2; y 1 + y 2; z 1 + z 2).
Для суммы трех или большего числа векторов доказательство проводится аналогично.
2. При вычитании векторов их соответственные координаты вычитаются:
(x 1; y 1; z 1) — (x 2; y 2; z 2) = (x 1 — x 2; y 1 — y 2; z 1 — z 2)
Доказательство проведите самостоятельно.
3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
В самом деле, для вектора (x 1; y 1; z 1) и числа λ, имеем
λ (x 1; y 1; z 1) = λ (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3) =
= (λ x 1) e 1+ (λ y 1) e 2 + (λ z 1) e 3 = (λ x 1; λ y 1; λ z 1)
11) Скаля́рное произведе́ние (иногда внутреннее произведение) — операция над двумя векторами, результатом которой является число [когда рассматриваются векторы, числа часто называют скалярами], не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.
Обычно используется одно из следующих обозначений:
,
,
,
или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):
.
Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть
для всех.
12) Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности иассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульсаи сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
13) Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее —псевдоскаляр).
· Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
· Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :
· Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и , взятому со знаком «минус»:
14)
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 20 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |