Читайте также:
|
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция ƒ(х) возрастает (убывает), то ƒ'(х)≥0 (ƒ"(х)≤0) для " x є (a;b).
Пусть функция ƒ(х) возрастает на интервале (α;b). Возьмем произвольные точки х и х+∆х на интервале (α;b) и рассмотрим отношение
Функция ƒ(х) возрастает, поэтому если ∆х>0, то х+∆х>х и ƒ(х+∆х)>ƒ(х); если ∆х<0, то х+∆х<х и ƒ(х+∆х)<ƒ(х). В обоих случаях
так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки.
По условию теоремы функция ƒ(х) имеет производную в точке х и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,
Аналогично рассматривается случай, когда функция ƒ (х) убывает на интервале (a;b).
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси Ох или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой х0) параллельны оси Ох.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция ƒ(х) дифференцируема на интервале (a;b) и ƒ'(х)>0 (ƒ'(х)<0) для " x є (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).
Пусть ƒ'(х)>0. Возьмем точки х1 и х2 из интервала (a;b), причем x1<х2. Применим к отрезку [x1;x2] теорему Лагранжа: ƒ(х2)- ƒ(x1)=ƒ'(с)(х2-x1), где с є (x1;x2). По условию ƒ'(с)>0, х2-х1>0. Следовательно, ƒ(х2)-ƒ(х1)>0 или ƒ(х2)>ƒ(х1), т. е. функция ƒ(х) на интервале (a;b) возрастает.
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 102).
3.Интегралы типа 
Интегралы типа 
вычисляются с помощью известных формул тригонометрии:
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 29 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |