Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Условная вероятность. Независимые и зависимые события.

Вероятность появления события А при условии, что событие В произошло, называется условной вероятностью события А и вычисляется по формуле:

События А, В Е называются независимыми, если Р (А В) = Р (А) · Р (В).

В противном случае события А и В называются зависимыми.

Определение. Вероятность события А, найденная в предпо­ложении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно события В.

Обозначать ее будем символом Р_В(А). В таком случае Р_В(А) означает вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В не наступило.

Теорема (умножения вероятностей). Вероят­ность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого относительно взятого первым, т. е.

Р (АВ) = Р (А) • Р_А (В) или Р (AB)= Р (В) • Р_В (А).

Задача. Среди 25 электрических лампочек четыре нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки окажутся не­стандартными.

Решение. Искомое событие состоит в том, что нестандартными будут и первая (событие А) и вторая (событие В) лампочки. Но Р(А) = 4/25, а Р_А (В) = 3/24, так как при наступлении собы­тия А общее число лампочек и число нестандартных среди них по сравнению с первоначальным уменьшится на одну. Таким образом, Р (АВ) = 4/25*3/24=0,02.

Определение. Событие А будем называется зависимым от события В, если вероят­ность события А меняется при наступлении события В. Совершенно естественно называть событие А независимым от события В, если ве­роятность события А не изменяется при наступлении события В. Сле­довательно, если событие А независимо от события В, то

.

Однако независимость и зависимость со­бытий обладают свойством взаимности, а именно справедлива теорема:

Теорема. Если событие А независимо от события В, то и В не­зависимо от А. Если же событие А зависимо от события В, то и собы­тие В зависимо от А.

Определение. События А и В называются независимыми, ес­ли вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

Независимость более чем двух событий может быть различной.

Определение. События А, В, С,...., К называются попар­но независимыми, если независимы между собой любые два из них.

Определение. События А, В, С,..., К называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий (одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе).

Независимость событий в совокупности является более сильным требованием, чем их попарная независимость.

Теорема умножения вероятностей для двух независимых событий имеет более простой вид.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произве­дения предшествующих каждому из них событий, т. е.

Р (АВС...КL) = Р(А) • Р_А (В) • P_AB (С)...P_ABC…K (L).

Если события А, В, С,..., K, L независимые в совокупности, то фор­мула упрощается, а именно:

Р (АВС...КL) = Р(А) • Р (В) • P (С)... P (L).

т. е. вероятность произведения конечного числа независимых в со­вокупности событий равна произведению их вероятностей.