Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Ф ункцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х R

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

F(x)=P(X<x),где х R

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b,т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:

f(x)=F’(x)

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при х R

_х

2) F(x)= ∫ f(x)dx

^-∞

Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)

_b

3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx

^a

Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)

_-∞

4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки

^+∞

рис.1 рис.2

Числовые характеристики

Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

• Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

_+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

^-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

• Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

_+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)²)•f(x)dx, или

^-∞

_+∞

D(X)= ∫ х²•f(x)dx- (М(х))²

^-∞

• Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.