Читайте также:
|
|
· Ответ на Вопрос 1
аксиоматическое) определение действ чисел.
Непустое множество ={x} элементов x произвольнойприроды называется множествомдействительных чисел, если выполняются следующие условия:
IНа множестве введена операция сложения элементов, т.е. указан закон, согласно которому каждой упорядоченнойпаре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из обозначаемый x+yй называемый суммой элементов x и y так, что выполняются следующие (аксиомы сложения) условия:
(1)I В существует единственный нейтральный элемент (называемый нулём при сложении) такой, что для любого x выполнено:
x+ = +x=x
(2)I Для каждого x существует единственный элемент из , называемый противоположным элементу x, обозначаемый (-x) и такой, что
x+(-x)=(-x)+x=
(3)I Для любых x, y, z
x+(y+z)=(x+y)+z(ассоциативность)
(4)I Для любых x, y из
x+y=y+x(коммутативность)
II На множестве введена операция умножения элементов, т.е. указан закон, согласовано которому каждойупорядоченнойпаре элементов x, y из поставлен в соответствие элемент из называемый произведением x наy и обозначаемый xy так, что выполнены следующие условия (аксиомы умножения):
(1)IIВ существует единственный нейтральный элемент (единица при умножении) обозначаемый 1 такой, что для любого x :
x·1=1·x=x
(2)II Для любого x { } существует единственный элемент из , называемый обратным к x и обозначаемый x-1 такой, что:
x· x-1=x-1·x=1
(3)II Для любых x, y, z из :
x·(y·z)=(x·y)·z (ассоциативность)
(4)II Для любых x, y, z из :
x·y=y·x(коммутативность)
· Ответ на вопрос 2 Теор о сущ-нии верх/ нижней грани множества.
Теорема 1. (О существовании точной верхней грани у ограниченного сверху числового множества)
Любое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет точную верхнюю грань.
Доказательство.
Пусть X , X и существует В такое, что для любого x : x В.
Рассмотрим множество E всех чисел, ограничивающих множество X сверху.
E , так как В E. Следовательно, мы имеем два множества X и E, обладающих свойством:
X , E и для каждого x и для каждого В E x В.
А тогда согласно аксиоме V (полноты и непрерывности) множества действительных чисел существует Во такое, что для любого x и для любого В E
x Во В.
Из левой части неравенства x Во следует, что для любого x : x Во Во ограничивает множество X сверху Во E.
Из правой части неравенства следует, что для любого В E: Во В, а так как Во E, то Во – наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху
Во=supX.
Теорема 2. (О существовании точной нижней грани у ограниченного снизу числового множества).
Любое непустое ограниченное снизу числовое множество имеет точную нижнюю грань.
Доказательство.
Пусть , и – ограниченно снизу, то есть существует А такое, что для любого x : А x.
Рассмотрим множество X={-x; x }. Тогда для любого -x : -x -А, то есть множество X ограничено сверху и согласно теореме 1 существует Во= sup X для любого x : x Во -x -Во -Во= inf
· Ответ на вопрос 3
Определение.
Говорят, что задана числовая последовательность, если указан закон, согласно которому каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число xn.
Беск малые -
0= xn для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn│< xn (- , ).
Определение.
Последовательность, сходящаяся к нулю, называется бесконечно малой (б.м.).
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если (то есть, если ).
· Ответ на вопрос 4
Число а называется пределом последовательности (1), если для каждого положительного числа >0) существует натуральное число (номер) N такое, что для любого номера n>N:
│xn-a│ или - <xn-а< а- <xn< xn (а- , а+ )
Определение.
Числовая последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, то есть если существует число а такое, что а= xn существует а такое, что для каждого >0 существует номер N такой, что для каждого номера n>N: │xn-a│ .
Теорема 2.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Определение.
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.
Доказательство.
.Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.
{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит и для =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:
│xn-а│< =1 а-1<xn<а+1 xn (а-1, а+1)
положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}
B=max{ x1, x2,…, xN, a+1}
Тогда для любого n, n=1, 2, …: А В.
· Ответ на долбанный Вопрос 5
Теорема о единственности предела.
Любая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.
Доказательство. (от противного)
Пусть существует {xn}, такая сходящаяся последовательность, для которой существуют два числа а и b, а<b, такие что
а= xn, b= xn, b>a.
так как a<b, то существуют непересекающиеся окрестности точек а и b.
Возьмём = (b-а)>0.
а= xn для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N1 такой, что для любого n>N1: │xn-а│< (b-а).
b= xn для каждого >0, а значит и для = (b-а)>0 существует номер N2 такой, что для любого номера n>N2: │xn-b│< (b-а).
Тогда для любого n>N=max{N1, N2} выполняются оба неравенства:
b- xn<a+ b- a+ b-a<2 = (b-а), что невозможно.
Мы пришли к противоречию.
· Ответ на вопрос 6
Теорема о ограниченности сх-ся посл-ти.
Любая сходящаяся последовательность ограничена. Обратное неверно.
Доказательство.
I.Пусть {xn} сходится. Докажем, что она ограничена.
{xn} сходится существует число а такое, что для каждого >0, а значит идля =1>0 существует номер N=N(1) такой, что для любого номера n>N:
│xn-а│< =1 а-1<xn<а+1 xn (а-1, а+1)
Положим А=min{x1, x2,…, xN, a-1}
B=max{ x1, x2,…, xN, a+1}
Тогда для любого n, n=1, 2, …: А В.
· Ответ на вопрос 7
Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 3.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности.
xn=а, yn=b.
Тогда {xn+yn } сходится и её предел равен а+b.
Доказательство.
xn=а для любого n: xn=а+ n, где { n} - б.м.
yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.
Тогда {xn+yn } сходится, т.к. n, n=1, 2, …: xn+yn=(а+ n)+(b+ n)=а+b+( n+ n),
{ n+ n } – б.м., как сумма двух бесконечно малых последовательностей { n} и{ n}.
Согласно лемме 2 §2 (xn+yn)=а+b
Теорема 4.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b.
Тогда {xnyn} сходится и её предел равен а∙b.
Доказательство.
xn=а для каждого n:xn=а+ n, где { n} – б.м.
yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.
Тогда для любого n:
xnyn=(а+ n)∙(b+ n)=аb+а n+b n+ n n
Последовательности { n} и { n} бесконечно малые по лемме 1 §2, { n n} – б.м., как произведение ограниченной на бесконечно малую по теореме 1§2 xnyn=а∙b.
Теорема 5.
Пусть {xn} и {yn} две сходящиеся последовательности, xn=а, yn=b, b 0.
Тогда { } сходится и её предел равен .
Доказательство.
I.Пусть yn=b, b .
Тогда последовательность { }: 1) имеет смысл
2) сходится
3) её предел равен
1) { } имеет смысл, то есть существует номер nо такой, что для любого n о: yn , то есть { } определена.
В самом деле, т.к. yn=b для каждого 0, а значит и для >0, существует номер N такой, что для любого номера n>N
│yn-b│< b- <yn<b+
Пусть b>0. │b│=b.
Тогда 0<b- ∙b= <yn< ∙b (*)
Пусть b<0. │b│= - b.
Тогда ∙b<yn< ∙b<0 (**).
Тогда для любого n N+1: yn и { } опеределена.
2) Покажем, что { } ограничена.
Для любого n>N: либо 0< <yn │ │< ,
либо yn< <0 │ │< { } ограничена.
3) Докажем, что { } сходится и её предел равен .
Так как yn=b для любого n: yn=b+ n, где { n} – б.м.
Пусть n о: = = (b - yn) = n.
{ n } по лемме 3 §2 б.м., ибо {b- yn }={- n }– б.м.
А тогда = + - = + n, { n } б.м. и согласно теореме 1§2, = .
II. Докажем теперь, что{xn∙ }= { } сходится.
xn=а, = .
Тогда по теореме 3 { } сходится и её предел равен .
Теорема 6.
Пусть {xn} сходится и xn=а.
Тогда {│xn│} сходится и │xn│=│а│.
Доказательство.
xn=а для каждого >0 существует номер N такой, что для любого номера n>N: │xn- а│< .
Возьмём произвольное >0, фиксируем его. Тогда
n>N: ││xn│ - │а││ │xn - а│< │xn│=│а│.
· Ответ на вопрос 8
Определение.
Частичной последовательностью или подпоследовательностью последовательности (1)называется любая последовательность вида
{xn1, xn2, …, xnk, …}, в которой номера n1<n2<…<nk<… образуют строго возрастающую последовательность, при этом nk k, k=1, 2, …
Любая подпоследовательностьсходящейся последовательности сходится и имеет тот же предел.
Доказательство.
Пусть {xn} сходится а 0 N n>N: │xn-а│< и пусть { xn} - произвольная подпоследовательность последовательности {xn}.
Докажем, что xn=а.
Так как {nk} строго возрастает и : nk k, то по теореме §5 {nk} стремится к + 0, а значит и для E=N>0 номер K такой, что k>K: nk>N >0 >K: │xn-а│< а= xnk.
Число называется частичным пределом {xn}, если {xnk} – её подпоследовательность такая, что xnk=
Определение.
Нижним пределом {xn} называется = inf М.
Верхним пределом {xn} называется = sup М.
1. М –ограниченно снизу и неограниченно сверху.
Тогда по определению = inf М, а =+ .
2. М – ограниченно сверху и неограниченно снизу.
Тогда по определению = sup М, а = .
· Ответ на долбаный вопрос 9
Предельный переход в неравенствах.
Теорема 1. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ b, то
Следствие. Если, начиная с некоторого N, все xn ³ yn, то .
Важное замечание. Заметьте, что если, начиная с некоторого N, все xn > b, то, то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое.
Теорема 2. («Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N, выполнены следующие свойства
1. ;
2 .,
то существует .
· Ответ на вопрос 10
Монотонные последовательности.
Теорема.
Любая монотонная ограниченная последовательность сходится.
Доказательство.
1. Пусть {xn} возрастает и ограничена сверху, то есть x1 x2 … xn … и В n: xn В.
Так как множество {xn} всех элементов последовательности ограниченно сверху, то sup {xn}=а.
Докажем, что xn=а.
sup {xn}=a 1) n: xn а
2) 0 N: xn>а- , а в силу возрастания {xn} n>N: а- <xN xn а<а+ а- <xn<а+ │xn-а│< xn=а.
2) 1)
2. Пусть {xn} убывает и ограничена снизу.
Тогда {-xn} возрастает и ограничена сверху. В самом деле x1 x2 … xn … - x1 - x2 … - xn …
{xn}ограничена снизу А n: А xn - xn -А {-xn} ограничена сверху и возрастает. Тогда по доказанному в п.1 (-xn)=-а= sup {-xn}. А тогда а= xn= inf {xn}.
· Ответ на вопрос 11
Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
Теорема.
Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию Коши:
0 N=N() n>N m>N: │xn-хm│< или
0 N=N() n>N и p – натурального: │xn+p - хn│< .
Доказательство.
1. Необходимость.
{xn} сходится а 0 N n>N: │xn- а│< .
Возьмём произвольное 0, зафиксируем его и проверим выполнение условия Коши.
{xn} сходится а 0, а значит и для нашего фиксированного >0, N n>N: │xn- а│< .
Возьмём произвольные n>N и m>N и рассмотрим │xn- хm│=│xn-а+а - хm│ │xn- а│+│xm- а│< + = , т.е. условие Коши выполнено.
2. Достаточность.
Пусть {xn} удовлетворяет условию Коши 0 n>N, : │xn- хm│< .
Докажем, что {xn} сходится.
{xn} удовлетворяет условию Коши 0, а значит и для =1>0 N=N() n>N и m>N: │xn- хm│< .
Пусть m=N+1>N: │xn- хN+1│<1 n>N: xN+1 -1<xn<xN+1+1 n>N+1: xn (xN+1 -1, xN+1+1).
Вне этого интервала могут находится х1, х2, …, хN.
Пусть А=min{х1, х2, …, хN, xN+1-1}
B=max{х1, х2, …, хN, xN+1+1}
Тогда n, n=1, 2, …: xn [А, В] {xn} – ограничена, а тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса (§9) из {xn} можно выделить сходящуюся подпоследовательность {xnk}.
{xnk} сходится а: а= xnk.
Докажем, что а= xn.
По условию Коши, 0, >0, N n>N m>N: │xn- хm│< .
Положим m=nk k>N. Тогда xnk - <xn<xnk+ .
Устремим k + . Тогда по теореме 1 §4 (предельный переход в неравенствах для одной последовательности) получаем а- xn а+ │xn- а│ < │xn- а│< а= xn.
Определение.
Последовательность {xn}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.
Из критерия Коши следует, что числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
· Ответ на вопрос 12
. Число .
Рассмотрим последовательность {(1+ )n}.
Обозначим элемент этой последовательности yn=(1+ )n.
Докажем, что {yn} сходится. Для этого покажем, что она возрастает и ограничена сверху.
Используем формулу Бинома-Ньютона:
yn= (1+ )n=1+n· + · +…+ · +…+ · = =1+1+ (1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )+…+ (1- )(1- )…(1- )
yn+1=1+1+ (1- )+…+ 1- )…(1- )+…+ 1- )…(1- )+ + (1- )…(1- )
1. {yn} строго возрастает.
n, n=1, 2, …: yn<yn+1, так как каждое слагаемое увеличивалось, ибо > и, кроме того, прибавилось ещё одно положительное слагаемое (последнее).
2. {yn} ограничено сверху.
Для доказательства заменим каждый множитель (1- ) единицей, ибо k n (k-1<n).
Используя неравенство k!=1·2·3·…·k 1·2·2·…·2=2k-1, k=1, 2, …, получим
yn<1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ <1+1+ + +…+ +…=1+ =1+2=3
Итак, n: yn<3.
Тогда по теореме о сходимости ограниченной монотонной последовательности (§7) yn= = sup {(1+ )n}.
2,7182848…
· Ответ на вопрос 13
Теорема о вложенных отрезках.
Пусть последовательность отрезков (1) { [an, bn] } удовлетворяет следующим условиям:
1). n: [an+1, bn+1] [an, bn]
2). дл.[an, bn]= (bn- an)=0
Тогда последовательность концов отрезков {an} и {bn} сходится и an= bn=с.
При этом с является единственной точкой, принадлежащей всем отрезкам последовательности (1).
Доказательство.
Рассмотрим последовательность {an} левых концов отрезков.
Из условия 1) следует, что n, n=1, 2, …: аn+1 an {an}возрастает. А так как n: an b1 (an bn b1), то {an} ограничена сверху. {an} возрастает и ограничена сверху, а тогда по теореме §7 она сходится с: с= an.
Рассмотрим теперь последовательность {bn} правых концов отрезков [an, bn], n=1, 2, …
Так как для любого n: bn=an+(bn-an), то по теореме о пределе суммы двух сходящихся последовательностей {an} и {bn-an} bn=с+0=с.
Согласно следствию §7 an=с= sup {an}, а так как {bn} убывает и ограничена снизу, то bn=с= inf {bn}.
По определению sup {an} и inf {bn}:
n: an с bn n: с [an, bn].
Докажем теперь, что точка с - единственная точка, принадлежащая всем отрезкам последовательности (1).
Предположим, что с′, с′ с и такое, что n: с′ [an, bn].
Значит, n: -(bn-an) с-с′ bn-an, а так как с′ с, то |с-с′|>0 0<|с-с′| (bn-an).
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |