Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство

Пусть меняет знак с «-» на «+», тогда по достаточному условию строгой выпуклости функция на интервале функция будет строго выпукла вверх, на интервале — строго выпукла вниз, т.е при переходе через точку направление выпуклости изменяется по определению - точка перегиба.

18. Функции нескольких переменных. Основные определения и свойства.

Рассматривается множество . Если определено правило, по которому каждой точке ставится в соответствие некоторое число (единственным образом), то говорят, что на множестве D определена (однозначная) функция . Как обычно, множество D называется областью определения функции, а множество всех соответствующих значений u: Q = { u } – множеством значений. Часто функцию u = F (x) называют отображением

При n = 2 уравнение F (x,y) = C задает линии уровня поверхности z = F (x,y), а при n = 3 уравнение F (x,y,z) = С – поверхности уровня.

Задание ФНП может быть неявным: F (x,u) = 0 или параметрическим .

Примеры. Поверхности 2 – го порядка.

Как и в случае одной переменной, определяется предел ФНП:

Вместо условия можно писать .

Справедливы все общие свойства пределов: арифметические свойства, переход к пределу в неравенствах и т.д.

Тем не менее, понятие предела ФНП оказывается более сложным за счет того, что стремление т. х к х^о может осуществляться большим числом способов, нежели в случае одной переменной.

Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z = f (x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

19 Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности дифференциала.

Пусть .

Определение: Дифференциал d функции в точке называется следующее выражение:

или сокращённо: , где dx и dy – дифференциалы переменных x и y.

Пусть x = x (u, v)Î и y (u, v)Î .

Тогда по определению:

Следовательно, мы можем представить df в следующем виде:

Последнее равенство следует из доказанных формул замены переменных.

Таким образом df можно представить в виде:

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

20 Понятие точек экстремума

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется максимум функции .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство

Значение называется минимум функции.

Точки максимума и точки минимума называют точками экстремума. Как и в случае функции одной переменной есть необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифференцируемая функция имеет в точке экстремум, то частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.