Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пояснення визначення

Означення похідної.

Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Δx) в цьому випадку визначається як x−x₀, а приріст функції (Δy) — як f(x)−f(x₀). Тоді, якщо існує границя , то вона називається похідною функції f в точці x₀.

Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Зміст похідної

Пояснення визначення

Нехай ƒ – функція дійсних чисел. В класичній геометрії, дотична до графіка функції ƒ для дійсного числа a була єдина лінія через точку (a, ƒ (a)), що не перетинається з графіком функції ƒ трансверсально, це означає що ця лінія не проходить крізь графік. Похідна функції y по змінній x в точці a, з геометричної точки зору, це нахил дотичної лінії до графіка функції ƒ в точці a. Нахил дотичної дуже близький до нахилу лінії, що проходить крізь точку (a, ƒ (a)) та іншу близьку точку на графіку, наприклад (a + h, ƒ (a + h)). Такі лінії називаються січними. Значення h близьке до нуля дає добре наближення для нахилу дотичної, а чим менше значення h, в загальному випадку, тим краще буде наближення. Нахил m січної лінії дорівнює різниці значень y для цих точок поділити на різницю значень x, тобто

Цей вираз — це відношення приростів Ісаака Ньютона. Похідна — це значення відношення приростів у випадку коли січні лінії наближаються до дотичної. Строго кажучи, похідна функції ƒ в точці a це границя:

відношення приростів коли h наближається до нуля, якщо така границя існує. Якщо границя існує тоді ƒ – диференційована в точці a. Тут ƒ ′ (a) одне з кількох можливих позначень похідної (див. нижче)

Запишемо еквівалентний вираз, для похідної справедлива рівність

що також піддається інтуїтивному розумінню (див. рис.1), де дотична лінія ƒ в точці a дає найкраще лінійне наближення

для ƒ біля точки a (наприклад, для малих h). Якщо підставити 0 замість h у відношеня приростів то отримаємо ділення на нуль, отже нахил дотичної лінії не можна обчислити таким способом. Натомість запишемо Q (h), відношення приростів як функцію від h:

Q (h) – це нахил січної лінії між точками (a, ƒ (a)) and (a + h, ƒ (a + h)). Якщо ƒ – неперервна функція, тобто якщо графік функції немає розривів, тоді Q також непервна функція починаючи з точки h = 0. Якщо існує границя , тобто якщо існує спосіб обчислити значення для Q (0), це означає що графік функції Q неперервний, тоді функція ƒ диференційована в точці a, і її похідна в точці a дорівнює Q (0).

На практиці, існування непервного продовження відношення приростів Q (h) в точці h = 0 показують по-іншому: міняють чисельник таким чином щоб скоротити h у знаменнику. Цей прроцес може бути довгим та нудним для складних функцій, тож в таких випадках використовують багато спрощень.