Читайте также:
|
|
Глава V
Множества. Метод математической индукции
Множества и операции над ними
Под множеством понимается любая совокупность объектов, называемых элементами множества.
Запись а Î А означает, что объект а есть элемент множества А (принадлежит множеству А);в противном случае пишут а Ï А. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом Æ. Запись А Ì В (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В;в этом случае множество А называется подмножеством множества В. Множества А и В называют равными (А = В),если А Ì В и В Ì А.
Существуют два основных способа задания (описания) множеств.
а) Множество А определяется непосредственным перечислением всех своих элементов а 1, а 2,..., аn, т.е. записывается в виде
A = { а 1, а 2,..., аn }.
б) Множество А определяется как совокупность тех и только тех элементов из некоторого основного множества Т,которые обладают общим свойством a. В этом случае используется обозначение
A = { x Î T ï a (x)},
где запись a (х)означает, что элемент х обладает свойством a.
Объединением множеств A и В называется множество
A È B = { x ï x Î A или x Î B }.
Пересечением множеств А и В называется множество
A Ç B = { x ï x Î A и x Î B }.
Разностью множеств А и В называется множество
A \ B = { x ï x Î A и x Ï B }.
Задачи.
Указанные множества задать перечислением своих элементов:
5.1. А = { x Î R ï x 3 – 3 x 2 + 2 x = 0};
5.2. А = { x Î N ï x 2 – 3 x - 4 £ 0};
5.3. А = { x Î Z ï1/4 £ 2 x < 5};
5.4. А = { x Î R ïcos22 x = 1 и 0 < x £ 2 p }.
Изобразить на координатной плоскости следующие множества:
5.5. А = {(x, y) Î R 2ï x + y – 2 = 0};
5.6. А = {(x, y) Î R 2ï x 2 – y 2 > 0};
5.7. А = {(x, y) Î R 2ï y 2 > 2 x + 1}.
5.8. Описать перечислением всех элементов множества А È В, А Ç В, А \ В, В \ А:
А = { x Î R ï x 2 + x – 20 = 0}, В = { x Î R ï x 2 – x + 12 = 0};
5.9. Прочитать приведенные ниже высказывания, выяснить их смысл, установить истинны они или ложны (x, y, a, b, c Î R):
а) " x $ y (x + y = 3);
б) $ y " x (x + y = 3);
в) $ x, y (x + y = 3);
г) " x, y (x + y = 3);
д) $ x, y (x > y >0 Ù x + y = 0);
е) " x (x 2> x Û x > 1Ú x < 0);
ж) " a, b, c ($ x (ax 2 + bx + c = 0) Û b 2– 4 ac ³ 0);
з) " a, b, c (" x (ax 2 + bx + c > 0) Û b 2– 4 ac < 0 Ù a > 0).
2. Метод математической индукции
Для доказательства некоторого утверждения, зависящего от натурального числа n, часто применяется метод математической индукции.
Для доказательства утверждения методом математической индукции делается следующее:
1. Проверяется справедливость этого утверждения для n = 1.
2. Предполагается справедливость этого утверждения для n = k,где k – произвольное натуральное число, и с учетом этого предположения устанавливается справедливость его для n = k + 1.
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 12 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |