Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Определить понятия бесконечно больших и бесконечно малых функций, эквивалентности бесконечно малых функций.

Читайте также:
  1. DLL-библиотек общ.понятия.
  2. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
  3. II. ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНЫ
  4. Актуальные проблемы создания малых инновационных предприятий в Республике Беларусь и пути их решения.
  5. Акты применения норм права: понятия, виды
  6. Акты применения права. Понятия и виды.
  7. Аналитико-синтетическая деятельность коры больших полушарий.
  8. Билет 39 Понятия «субъект» и «объект» познания. Формы познавательной деятельности.
  9. Билет 47. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции. Сравнение функций. Эквивалентные функции
  10. Бухгалтерский учет на малых предприятиях.


Записать формулы эквивалентныхбесконечно малых функций.
Функция
y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞,
если или, т.е. бесконечно малая функция – это
функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Бесконечно
большая функция если её придел равен +- бесокнечности.
Пусть
α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→хо, т. е.
и
1.
Если =А¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно
малыми одного порядка.
2.
Если, =0, то α називатся бесконечно малой более
высокого порядка, чем ß.
3.
Если =∞, то α называется бесконечно малой более
низкого порядка, чем ß.
4.
Если не существует, то α и ß называются
несравнимыми бесконечно малыми.

49. Дать определения непрерывность функции в точке. Изложить свойства функций,
непрерывных в точке.


Функция
yf(x непрерывна в
(.)х=х0 если:
1)она
в этой точке определена
2)значения
предела данной функции = значению предела даной точке.
Свойства
1)если
y=f(x) и y =q(x) неперывныв
(.)х0. То их сумма разность, произведение, частное неперывно в точке х0.


50. Дать определение точки разрыва функции. Сформулировать условие непрерывности
функции в точке. Изложить классификацию разрывов функции.


Точка в которой нарушаеться
условие непрерывности называеться точкой разрыва.
Функция y=f(x) непрерыввна в х0тогда и только тогда. если предел слева =
пределу справа и = значению функции этой точки f(x0-o)=f(x0+0)=f(xo).
1)Если в точке х=х0f(x0-o) не =f(x0+0)
то х0- предел разрыва 1 рода, при этом одностороние пределы сушь и конечны
2)Ести хоть 1 из
одностороних пределов бесконечен или не сушествует то х0 точка разрыва 2 рода
3)Если односториние пределы
сушь, конечны и равны между собой но не раны значению функции в точке х0 то х0
точка устранимого разрыва.


51. Дать определение непрерывности функции на отрезке. Сформулировать теоремы о
функциях, непрерывных на отрезке.

.
Функция f(x)
называется непрерывной на отрезке [a, b], если
она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в
точке a и непрерывна слева в точке b.
Теорема
1 (об ограниченности
непрерывной функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на
этом отрезке, т.е. существует такое число C> 0, что "xО [a, b] выполняется
неравенство |f(x)| ≤ C.
Теорема
2 (Вейерштрасс). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,
b], то она достигает на этом отрезке
своего наибольшего значения M и
наименьшего значения m, т.е. существуют
точки α, βО [a, b] такие, что m = f(α) ≤ f(x) ≤ f(β) = M для всех xО [a, b]
Теорема
3 (о существовании нуля).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,
b] и на концах отрезка принимает
ненулевые значения разных знаков, то на интервале (a, b) найдется по крайней
мере одна точка ξ в которой f(ξ) = 0.
Теорема
4 (Больцано–Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,
b], то она принимает на (a,b) все промежуточные
значения между f(a) и f(b).

52. Дать определение асимптоты графика функции. Назвать их виды, сформулировать
условия существования...


Асимптотой
называеться кривая к которой приблежаються точки на прямой, по мере удаления
аргумента от начала кординат.
Виды:
вертекальные горизонтальные наклонные.
1)прямая
Х=а называеться вертекальной асимптотой графикаy=f(x) если хоть 1 из указаных значенийх=аlimf(x)и хстремиться к + или -a.
2)горизонтальная
асимптота.y=f(x) при х
стремиться к =или- бесконечности имеет горизонтальную асимптоту
Limf(x)=bпри х стремиться к бесконечности или -
бесконечности.
3)наклонная
y=f(x) имеет наклонную асимптотутогда и только тогда когда сушшь 2 конечных
приделаk=lim(f(x)/x) при х стремяшемся к бесконечности … lim (f(x)-kx)=b


53. Дать определение производной функции. Сформулировать и доказатьосновное свойство производной функции.
Сформулировать правила дифференцирования и записать соответствующие формулы.

54..Раскрыть механический (физический) и геометрический смысл производной. Записать и
разъяснить уравнения касательной и нормали к кривой.

Геометрический смысл
производной. Если функция имеет конечную производную в точке x 0, то в окрестности U (x 0) её можно приблизить
линейной функцией

Функция fl
называется касательной к f в точке x 0. Число f '(x 0)
является угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.
Скорость
изменения функции
Пусть s
= s (t) — закон прямолинейного движения. Тогда v (t 0) = s '(t 0)
выражает мгновенную скорость движения в момент времени t 0.
Вторая производная a (t 0) = s ''(t 0)
выражает мгновенное ускорение в момент времени t 0.
Вообще производная функции y = f (x) в точке x 0
выражает скорость изменения функции в точке x 0,
то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью y = f (x).
уравнение касательной QUOTE или QUOTE Уравнение нормали

 

55. Сформулировать теоремы о дифференцировании сложной и обратной функций и
доказать их.


Теорема 3 (дифференцирование сложной
функции).
Пусть

функция x = f (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x)
дифференцируема в соответствующей точке x =
f (t). Тогда
сложная функция y = f(
f (t)) дифференцируема в точке t,
причем справедлива формула

(f (f(t))) '
= f'
(x)f ' (t).

Доказательство. Зададим x = f(t) отличное от нуля приращение D t. Этому приращению отвечает приращение D x = f (t+D t)-f (t)
функции x = f(t). Приращению D x отвечает приращение D y = f(x+ D
x)-f(x). Так как функция y = f(x) дифференцируема, то ее приращение D y представимо в виде (1):
D y =f' (x)D
x +
a (D
x
) D x,
где limD x® 0a (D x) = 0. Поделив данное выражение на D t ¹ 0, будем
иметь:
D y/ D t=f' (x)D x/ D t+ a (D x)D x/ D t.
Из дифференцируемости
функции x = f (t) в точке t вытекает, что
limD t ® 0D x/ D t = f ' (t).
Отметим, что из
дифференцируемости функции x = f(t)
следует, что D x® 0
при D t® 0.
Следовательно, limD
t® 0
a (D x) =0.
Таким образом, получим необходимую формулу

Теорема 4 (производная обратной
функции).
Пусть функция

y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x.
Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)¹ 0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x)
определена обратная функция x = f-
1 (y), причем
обратная функция дифференцируема в точке x = f-
1 (y)
и для ее производной справедлива формула

(f- 1(y)) ' = 1 /f' (x).


56. Дать определение функции, заданной параметрическими уравнениями. Сформулировать
теорему о дифференцировании функции, заданной параметрически, и доказать ее.
Дать определение неявной функции. Сформулировать правило дифференцирования
неявной функции.


57. Сформулировать и
доказать теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
и их следствия.


Теорема
1. (Теорема Ролля) Пусть функция f(x)
непрерывна
на отрезке [a, b];
дифференцируема
в интервале (a, b);
на
концах отрезка [a, b] принимает равные значения.
Тогда
существует точка c О (a, b) такая, что f'(c) = 0.
Теорема
2. (Теорема Лагранжа) Пусть функция f(x)
непрерывна
на отрезке [a, b];
дифференцируема
в интервале (a, b).
Тогда
существует точка с О (a, b) такая, что

f(b)
− f(a) = f '(c) · (b − a).

Теорема
3. (Теорема Коши) Пусть функции f(x) и g(x)
непрерывны
на отрезке [a, b];
дифференцируемы
в интервале (a, b);
"x
О (a, b) g'(x) ≠ 0.
Тогда
существует точка c О (a, b) такая, что
f(b) − f(a)=
g(b) − g(a)

f '(c)
g
'(c)


58.Дать понятие о неопределенностях при вычислении пределов и назвать их виды. Сформулировать правило Лопиталя и рассказать об особенностях его применения..

59. Дать определение дифференциала функции и раскрытьего
геометрический смысл. Сформулировать свойства дифференциала и записать
соответствующие формулы.


Дифиринциал-линейная
часть приращения функции
Свойства:1)диффиринциал
постоянной =0
2)дифференциал
суммы дифференциальных функций равен сумме дифиринциалов слогаемых
3)диф.
Произведения2 диф. Функций равен
произведению первой на диф 2 + наоборот
4)диф
частного u/v диф функций u=u(x) и v=v(x) определяеться формулой
D(u/v)=vdu-udy/v*v


60. Записать формулы, используемые в приближенных вычислениях с помощью дифференциала и.
объяснить их. Привести соответствующие примеры.




Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 35 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | <== 3 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.006 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав