Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Читайте также:
  1. I. Общие сведения о ребенке.
  2. I. Теоретические основы социальной адаптации младших подростков при переходе в среднее звено школьного обучения в деятельности школьного социального педагога
  3. Вопрос : Основные сведения по гидрогеологии
  4. ВОПРОС:МОТИВАЦИЯ И СТИМУЛИРОВАНИЕ ПЕРСОНАЛА: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ПРАКТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАЗРАБОТКИ И ВНЕДРЕНИЯ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ ПЕРСОНАЛА.
  5. ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВОСПИТАНИЯ СОЗНАТЕЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ В МЛАДШЕМ ШКОЛЬНОМ ВОЗРАСТЕ.
  6. Глава 1. Теоретические основы изучения особенностей приобщения дошкольников к игре на детских музыкальных инструментах
  7. ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОРГАНИЗАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
  8. Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ИЗУЧЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННОЙ АКТИВНОСТИ
  9. Глава 1. Теоретические основы управления кредитного портфеля коммерческого банка 1.1 Сущность кредитного портфеля коммерческого банка и принципы его построения
  10. ГЛАВА 1: Теоретические основы найма персонала в кадровой политике государственного органа.

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида F(x) = 0 встречается в различных областях научных исследований.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итераци­онные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конеч­ного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры читателю из­вестны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня нелинейного уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня (начального приближения);

б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

В некоторых методах отыскивается не начальное приближение, а некоторый отрезок, содержащий корень. Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной (задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки а и b, в которых непрерывная функция F(x) принимает значения разных знаков, т. е. F(a)F(b) < 0. В этом случае между точками а и b есть по крайней мере одна точка, в которой F(x) = 0. В качестве начального приближения хо можно принять середину отрезка [а, b], т. е. xo = (а + b)/2. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня x1, x2,...,xk,... Если эти значения с ростом к стремятся к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции). Состоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок [а,b], на котором расположено искомое значение корня х = с, т.е. с е [а,b]. В качестве начального приближения корня со принимаем середину этого отрезка: со = (а + b)/2. Далее исследуем значения функции F(x) на концах отрезков [а, со] и о,Ь], т. е. в точках а, со, b. Тот из отрезков, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [аьbг]. Вторую половину отрезка, на которой знак F (x) не меняется, отбрасываем. В качестве первого приближения корня принимаем середину нового отрезка с1 = (а1 + b1)/2 и т.д.

Таким образом, к-е приближение вычисляется как

Итерационный процесс продолжают до тех пор пока не выполнится условие bk - ak < 2е, где е заданная точность.

Метод хорд. Пусть мы нашли отрезок [а,b], на котором функция F(x) меняет знак. Для определенности примем F(a) > F(b). В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения принимаются значения со, сь... точек пересечения хорды с осью абсцисс:

Вычисления производят до тех пор пока |ск - ск-11 < е.

Метод Ньютона (метод касательных). Его

метода состоит в том, что на к -й итерации вместо хорды проводится касательная к кривой у = F(x) при х = сk-1 и ищется точка пересечения ка­сательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок, содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое на­чальное приближение корня. Формула к-го приближения имеет вид:

Решение уравнений в системе MathCAD. Для решения таких уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает несколько по-разному:

- root(F(x),x);

- root(F(x),x,a).

Где F(x),- скалярная функция, определяющая уравнение; х - скалярная переменная, относительно которой решается уравнение; а, b - границы интервала, внутри которого происходит поиск корня. Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно просто предварительно присвоить х некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня.

 




Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 9 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав