Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Качественный анализ динамических систем

Важнейшим свойством открытых систем является установление в них стационарных состояний, в отличие от термодинамического равновесия. Интерес вызывают следующие вопросы: а) существуют ли в системе стационарные состояния и сколько их; б) какова их устойчивость и как устойчивость зависит от параметров системы; в) как ведет себя система вблизи стационарных состояний, возможны ли между ними переходы. Изучением этих вопросов занимается качественная теория дифференциальных уравнений. Этот подход наиболее эффективен при наличии системы автономных дифференциальных уравнений вида (7). Состояние такой системы в п -мерном пространстве будет описываться точкой в этом пространстве

М = М (х₁, х₂, … х_п);

в стационарном состоянии –

*М = *М (*х ₁, *х ₂, … *х_п).

Пространство с координатами х ₁, х ₂, … х_п называется фазовым, кривая, описываемая точкой М – фазовой траекторией.

Рассмотрим простейшую математическую модель, которой соответствует дифференциальное уравнение 1-го порядка:

Состояние таких систем в каждый момент времени характеризуется одной величиной х в данный момент времени t. Если для уравнения (17) выполнены условия теоремы Коши, то есть f(х) является аналитической на некотором заданном интервале, то имеется единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям и через точку х, t, проходит одна единственная кривая х(t).

Пусть уравнение (17) имеет действительные корни *х ₁ ,* х ₂ ,* х ₃. На плоскости t, х это прямые, параллельные t и пересекающие ось х в точках *х ₁ ,* х ₂ ,*х ₃. Они разбивают плоскость t, х на ряд полос (Рис. 4). Так как интегральные кривые не могут пересекаться (в силу теоремы Коши), то каждая интегральная кривая должна целиком заключаться в одной из таких полос и быть монотонной, так как внутри полосы f (х) не меняет знака. Зная свойства функции f (х)можно выяснить характер кривых на плоскости t, х.

Поведение исследуемой системы, выраженное уравнением (1) можно охарактеризовать положением изображающей точки на фазовой прямой х (Рис.5) В силу теоремы Коши, задание начального значения х = х ₀ в начальный момент времени t = t ₀ однозначно определит дальнейшее движение изображающей точки вдоль фазовой прямой во времени.

На фазовой прямой х траектории (направления) движения изображающей точки зависят от знака f(x) = dx/dt. Если f(x)> 0, то изображающая точка движется вправо; если f(x)< 0, движение направлено влево; точки, где f(x) = 0 соответствуют состояниям равновесия.

Таким образом, поведение интегральных кривых на плоскости t, х можно установить, не решая в явном виде дифференциального уравнения, если известен характер движения изображающей точки на фазовой прямой.