Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Устойчивость динамических систем

Рассмотрим критерии устойчивости состояний равновесия. Если при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки, то особая точка является устойчивым состоянием равновесия и соответствует устойчивому стационарному режиму функционирования системы. Иными словами, состояние равновесия устойчиво, если достаточно малое возмущение всегда остается малым.

Состояние равновесия х =*х устойчиво по Ляпунову если в момент времени t ₀ отклонение от состояния равновесия мало

| x (t ₀) -* x | < ξ,

то в любой последующий момент времени t ≥ t ₀ отклонение от состояния равновесия будет также мало

| x (t) -* x | < ε.

Пусть наша система отклонилась от точки равновесия *х и перешла в соседнюю с ней точку х. Положим х = *х+ξ, где ξ – малое отклонение от состояния равновесия, такое, что 1/ξ << 1. По нашему предположению f(х) – аналитическая функция. Перейдем от переменной х к переменной ξ в уравнении (17), подставив туда х = *х+ξ. Получим

Стоящую в правой части этого уравнению функцию разложим в ряд Тейлора в точке *х:

dξ/dt = f (*x) + f ^׳(*x)ξ + ½ f ^״ξ² + …

Проведем линеаризацию этого выражения, отбросив в этом уравнении нелинейные члены как величины более высокого порядка малости. В результате получим линейное уравнение

где λ = f ^׳(*x). Тогда

ξ(t) = Ce^λt, C = const.

Если λ < 0, то при t → ∞ ξ → 0, а следовательно, первоначальное отклонение ξ от равновесия со временем самопроизвольно затухает. Таким образом, стационарное решение х = *х устойчиво по Ляпунову. Наоборот, если λ > 0, то при t → ∞ ξ → ∞ и исходное состояние неустойчиво. Если λ = 0, то ситуация является неопределенной. Таким образом, по знаку производной f ^׳(*x) можно сделать вывод об устойчивости особых точек.

Например, уравнение логистической кривой для численности популяции

имеет два корня * х ₁ = 0 и * х ₂ = N_max. Подставляя эти значения в выражение производной

f ^׳(x)| _{х =*х} = r – 2 r*x/N_max,

можно сделать вывод об устойчивости особых точек. Так, при * х ₁ = 0 f ^׳(x) = r > 0, следовательно, * х ₁ = 0 является неустойчивой особой точкой. Если * х ₂ = N_max,то f ^׳(x) = − r < 0, то эта особая точка является устойчивой по Ляпунову.

Для более сложных динамических систем можно применить следующие закономерности, вытекающие из предыдущих рассуждений:

- если вблизи состояния равновесия х = *х функция f (x) меняет свой знак с плюса на минус при возрастании х, то такое состояние является устойчивым;

- если вблизи состояния равновесия х = *х функция f (x) меняет свой знак с минуса на плюс при возрастании х, то такое состояние является неустойчивым;

- если в окрестностях особой точки *х функция f (x) не меняет своего знака при возрастании х, то в этом случае состояние равновесия также является неустойчивым.