Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Исследование устойчивости нелинейных систем

Вместо переменных х, у системы дифференциальных уравнений (18) введем новые зависимые переменные ξ, η, определив их как смещения относительно положения равновесия на фазовой плоскости:

х = *х + ξ, у = *у + η.

Подставив эти выражения в (18) получим

Предполагая наличие и непрерывность производных порядка не ниже первого у функций P, Q, мы можем разложить правые части полученных уравнений в ряд Тейлора, по переменным ξ и η:

dξ/dt = P (*x, *y) + aξ + bη + (p₁₁ξ² + 2p₁₂ ξη + p₂₂η² + …) + …,

(22)

dη/dt = Q (*x, *y) + cξ + dη + (q₁₁ξ² + 2q₁₂ ξη + q₂₂η² + …) + …

где

a = P´_x (*x, *y), b = P´_y (*x, *y),

c = Q´_x (*x, *y), d = Q´_y (*x, *y)

P (*x, *y) = 0, Q (*x, *y) = 0

по определению особой точки (*х, *у).

Отбросим в уравнениях (22) нелинейные члены, получим систему линейных уравнений с постоянными коэффициентами, так называемую систему уравнений первого приближения

dξ/dt = aξ + bη

dη/dt = cξ + dη

Решение этой системы запишется сразу, если нам известны корни характеристического уравнения:

Ляпунов показал, что если оба корня этого уравнения имеют отрицательную действительную часть, то состояние равновесия будет устойчивым; если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то состояние равновесия неустойчиво. Если действительные части обоих корней характеристического уравнения равны нулю, или один равен нулю, а другой отрицателен, то уравнения первого приближения не дают ответа на вопрос об устойчивости состояния равновесия.

Состояния равновесия (особые точки) для которых действительные части обоих корней характеристического уравнения от нуля называются грубыми. Характер фазовых траекторий в их окрестностях сохраняется при любых достаточно малых изменениях функций P (x, y) и Q(x, y), если малыми являются также и изменения производных первого порядка от этих функций.

Состояния равновесия, свойства которых могут быть изменены сколь угодно малыми изменениями функций P(x, y) и Q(x, y) и их производных называются негрубыми состояниями.

Для исследования состояний равновесия удобно пользоваться диаграммой (рис. 9), построенной в координатах σ, ∆:

В нашем случае грубым состояниям равновесия соответствуют все точки плоскости параметров σ, ∆, лежащие вне оси ∆ = 0 и полуоси σ = 0, ∆>0. Точкам оси ∆=0 и полуоси σ = 0, ∆>0 соответствуют негрубые состояния равновесия, свойства которых могут быть изменены сколь угодно малыми изменениями правых частей уравнений (18) – за счет сколь угодно малых изменений функций P (x, y) и Q (x, y) и их производных.

В отличие от линейных систем в системах (18) уже при небольших изменениях в правых частях содержащихся там нелинейных членов может произойти качественное изменение фазового портрета системы. Точкам полуоси σ = 0, ∆>0 соответствуют состояния неустойчивого равновесия типа центра, переходящие в точки типа устойчивого и неустойчивого фокуса; точкам оси ∆=0 – так называемые сложные особые точки, например при ∆=0, σ >0 – точка типа «седло-узел».