Геометрия 11 класс
Урок 41. Решение задач по теме «Объём тел»
Аннотация
На этом уроке мы повторим известные нам формулы объёмов тел и решим несколько задач с этими формулами.
Конспект к уроку
Сформулируем и докажем теорему вычисления объёма многогранника, в который можно вписать шар:
Объём многогранника, в который можно вписать шар, равен 
произведения площади поверхности этого многогранника на радиус шара. 
рис. 1
Разделим многогранник на пирамиды, у которых основанием будет одна из граней многогранника, а вершина – центр шара (O), следовательно, объём многогранника будет состоять из суммы объёмов пирамид.
, где 
- объём каждой из пирамид; n – число граней многогранника.
Объём каждой пирамиды:
Высота у всех пирамид одинакова и равна радиусу шара 
, а 
– площадь основания, то есть площадь соответствующих граней многогранника.
Этой формулой удобно пользоваться для нахождения радиуса шара, когда мы не можем определить центр шара, вписанного в многогранник.
Задача 1
В правильном тетраэдре длина каждого ребра равна a. Точка K делит одно из рёбер в отношении 2:1. Найти объём отсечённой пирамиды с вершиной в точке K.
рис. 2
Дано: 
– тетраэдр; 
; 
; 
Найти: 
Решение:
1). Для того, чтобы найти объём пирамиды, необходимо знать площадь основания и высоту. Площадь основания – площадь равностороннего 
(тетраэдр правильный):
2).Найдём высоту пирамиды KABC, это отрезок 
(SO – высота правильного тетраэдра, т. O – центр основания тетраэдра) делит отрезок OB в таком же отношении как и BS.
2). Так как 
делит отрезок OB в таком же отношении как и BS, то
, поэтому
3). Из прямоугольного 
найдём SO по теореме Пифагора:
SB = a
OB – радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника
4). Подставим значения площади основания и высоты в формулу для нахождения объёма пирамиды
Ответ: 
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 16 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |