Читайте также:
|
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60, а расстояние от точки А до точки О равно 6
Соединяем точки О и А, затем проводим касательные, отмечаем точки В и С, соединяем их. Проводим линию от О до В. Продолжим сторону АВ до пересечерия с диаметром, проведенным перпендикулярно ОА. Отметим на пересечении точку М. Угол САВ равен 60, значит угол ОАМ 30 градусов, у нас прямоугольный треугольник с углом 30 градусов. Обозначим ОМ = х, значит АМ 2х, ОА по условию 6, по теореме пифагора находим ОМ и АМ. теперь у нас треугольник ОВМ, угол МОВ 30 градусов. Значит МВ - половина ОМ, также по теореме пифагора находим ОВ - радиус, получаем 3.
Задача вторая часть геометрии: В параллелограмме ABCD точки E, F, K и M лежат на его сторонах, как показанно на рисунке, причем AE=CK, CF=AM. Докажите, что EFKM-параллелограмм.
уголА=уголС (т.к. АВСД паралелограмм), АЕ=СК, АМ=FC (по условию задачи), значит треугольник AME=треугольнику CFK, значит и EM=FK.
Также легко заметить, что MD=BF и KD=EB (покажем для MD=BF. Т.к. AD=AM+MD, BC=BF+FC, а FC=AM, значит и MD=BF, Для KD=EB доказательство аналогично)
Тогда мы получили, что MD=BF,KD=EB, уголВ=уголD (т.к. АВСД - парал-мм), значит треугольник EBF=треугольнику KDM, значит MK=EK
Таким образом мы получили, что четырехугольник EFKM, у которого противолижащие стороны попарно равны. Теперь докажем что противалежащие стороны у четырехугольника параллельны, тогда мы и докажем что он параллелограмм.
В EFKM проведем диагональ MF, тогда очевидно, что треугольник MKF=треугольнику FEM (по равенству двух сторон+ одна сторона общаяя)Тогда угол FMK=углу MEF, а они внутренние накрест лежащие углы при прямых MK и EF и секущей MF, значит EF параллельна MK.
Теперь аналогичным образом, проводим диагональ EK, также получаем 2 равных треугольника MEK=FKE (тоже по трем сторонам), тогда углы KEM=EKF (а они накрест лежащие при прямых FK и EM при секущей KE), значит FK параллельна EM
Получили что стороны четырехугольника попарно параллельны друг другу, значит это парал-мм
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 44 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |