Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Реш-е сист.лин.ур-й методом Гаусса.

Пусть дана сист. m лин. ур-й, относительно n:

{a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1}

{a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2}

(am1x1+am2x2+…+amnxn=bm}

Построим расширенную матрицу:

A р=(a11 a12…a1n/b1)

(a21 a22…a2n/b2)

(am1 am2..amn/bm)

Суть метода Гаусса:

С помощью элем.преоб-й расшир-я.мат.сист.приводится к треуг-му виду,после приведения начинается обратный ход метода Гаусса.

16.Решение системы уравнений, с помощью обратной матрицы. Рассмотрим систему n-линейных уравнений, относительно n-неизвестных. Матрица-квадратная и невырожденная, значит для нее сущ-ет обратная матрица. В матричной форме система уравн.принимает вид AX=В. Умножим обе части этого равенства на матрицу, обратную к матр. А. Тогда по определению обр.матрицы произведение А’*A*X=A⁻¹*B. Таким образом, для того, чтобы решить систему, нужно найти матр.обратную к матр.коэффициентов т умножить ее на столбец свободных членов B.

17. Система линейных уравнений. Формулы Крамера. Рассмотрим систему m-линейных уравнений относительно n-неизвестных:

фигурная скобка: а11 х1+а12 х2+…+а1n xn=b1

а12 х1+а22 х2+…+а2n xn=b2 …

аm1 x1+am2 x2+…+amn x n=bm

Матрица коэффициентов-квадратная.

Теорема (о решении системы уравнений с помощью определителей):

Пусть у квадратной матрицы коэф-тов системы n-линейных уравнений, относительно n-неизвестных, определитель не равен 0. Назовем этот определитель основным. Пусть ∆j – это определитель матрицы, получаемый из основного определителя заменой j-того столбца на столбец свободных членов. Назовем эти определители вспомогательными (∆1, ∆2, … ∆n), тогда система урав-й имеет единственное решение, которое определяется по формулам Крамера:

; ;…
Можно исследовать систему уравнений, если определитель =0.

∆1=∆2=…=∆n=0, в этом случае сист.уравнений имеет бесконечное множество решений. Если определитель равен 0 и хотя бы один вспомогательный опред-ль не равен 0, в таком случае система не имеет решений.

18. Система линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Система лин.алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы.

А р. = (А|В) = (а11,а12…а1n|b1,

а21, а22 … а2n|b2,

… an1, an2 … ann|bn)

Теорема Кронекера-Капелли позволяет в компактном виде представить схему решения системы m-линейных уравнений, относительно n-неизвестных.

1) r (A)не равен r (A р.):

решений нет (система несовместна);

2) r (A)= r (A р.):

m-число уравнений, n-число неизвестных;

1. m<n; r<m; r=m. Система имеет бесконечное множество решений.

2. m=n; r<m Система исеет бескон.множество решений; r=m Единственное решение.

3. m>n; r<n Бесконеч.множ.реш-й; r=n Единственное реш-е.