Читайте также:
|
Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.
Пример1. Теория групп - одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:
G0. Для любых а и в из G композиция а в есть однозначно определённый элемент из G.
G1. Для любых а и в и с из G (а в) с = а (в с).
G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а е = е а = а.
G3. Для любого а из G имеется такой а' из G, что а а' = а' а = е.
Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z - целое число 0, в случае V2 - нуль вектор. В свойстве G3 элемент а' есть обратное преобразование f-1, противоположное число - m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 - G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.
Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.
Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента - е1 и е2, т.е. на основании G2, для любого ае1=а и ае2= а. Тогда, в частности, е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.
Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.
Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь его единственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратных а' и а'', т.е. таких элементов, что а'' а = е и а а' = е. Тогда, в силу G1 (а'' а) а' = а'' и, следовательно, е а' = а'' е. Отсюда следует, согласно G2, что а' = а''.
В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а-1, так что а-1 а = а а-1= е, где единственный единичный элемент из G.
Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G из а * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.
Доказательство: Пусть а * в = а * с. Тогда а-1 * (а * в)=(а-1 * а) * в = е * в = в. С другой стороны, а-1 * (а * в)= а-1 * (а * с) = (а-1 * а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда (в * а) * а-1= в * (а * а-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а-1= с * (а * а-1) = с * е = в. Значит в = с.
Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства) отрезков. S множество всех отрезков и отношение, называемое отношением конгруэнтности, так, что выражение х у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:
К1. Для всякого х из S х х.
К2. Для любых элементов х, у, z из S, если х z и у z, то х у.
Докажем теорему.
Теорема 1. Для любых элементов у и z из S, если у z, то z у.
Доказательство: По аксиоме К2, подставив z вместо х, получим, что если z z и у z, то z у. Поскольку член конъюнкции z z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если у z, то z у.
Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Её первоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение ' и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:
(Р1) (х) (х' 1).
(Р2) (х, у) (х = у х' = у')
(Р3) (х, у) (х' = у' х = у)
(Р4) (Аксиома индукции) (1М ^ (х)(хМ х'М)) М=N.
Правилами вывода служат обычные логические правила Modus Ponens и правило подстановки.
Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.
Теорема 1. (х) (х' х)
Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х N: х' х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.
А) 1М, так как 1' 1 по аксиоме Р1.
Б) Пусть хМ, т.е. х' х. Тогда, по аксиоме Р3, (х') ' х'. Следовательно, по определению, х' М.
Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что (х) (х' х).
Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.
Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции, (пересечение и объединение), унарная операция ' (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различных элемента - нулевой и единичный. Система аксиом 1 этой теории симметрична относительно операций ,, 0, 1.
(А1) х у = у х.
(А2) х у = у х.
(А3) х (у z) = (х у) (х z).
(А4) х (у z) = (х у) (х z).
(А5) х 1 = х.
(А6) х 0 = х.
(А7) х х' = 0.
(А8) х х' = 1.
Первоначальными понятиями второй теории Т 2 являются бинарная операция и унарная операция '.
Система аксиом 2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции.
(В1) х у = у х.
(В2) (х у) z = х (у z).
(В3) х у' = z z' х у = х.
(В4) х у = х х у' = z z'.
Наконец, в третий теории Т3, в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции и, унарная операция ' и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3 следующая:
(С1) х х.
(С2) х у ^ у z = х z.
(С3) х у z х z ^ у z.
(С4) z х у z х ^ z у.
(С5) х (у z) (х у) (х z).
(С6) х 1.
(С7) 0 х.
(С8) 1 х х'.
(С9) х х' 0.
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 33 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |