Читайте также:
|
|
Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими свойствами:
1. Коммутативность.
A È B=B È A
A Ç B=B Ç A
2. Ассоциативность.
(A È B) È C=A È (B È C)
(A Ç B) Ç C= A Ç (B Ç C)
3. Дистрибутивность.
(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C)
(A Ç B) È C= (A È C) Ç (B È C)
4. A È A=A, A Ç A=A
A È Æ = A, A Ç Æ= Æ
5. Законы де Моргана (законы двойственности).
1) A È B= A Ç B
2) A Ç B= A È B
Доказательство данных свойств проводится на основе определения равенства двух множеств.
Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.
Пример 5. A = {1; 2; 3; 4}
B = {3; 4; 5; 6}
A \ B= {1; 2}
(A \ B) È B= {1; 2; 3; 4; 5; 6} ¹ A
Но (A \ B) È B= A Û B Ì A
10. Высказывания. Операции над высказываниями
Понятие Высказывание является исходным и не определяется, а лишь поясняется. Высказывание это утверждение, которое является либо истинным, либо ложным, но не то и другое вместе. Пусть И Обозначает истинное высказывание, а Л — ложное.
Примеры:
1) 2+2=4 | — И. |
2) 2>3 | — Л. |
3) Река Дон впадает в Азовское море | — И. |
4) Париж — столица Италии | — Л. |
5) | — не высказывание (истина или ложь зависит от Х). |
6) Слава Российским студентам! | — не высказывание. |
Для каждого высказывания A Можно рассмотреть его Истинностное значение tv(A), которое определяется формулами tv(И)=1, tv(Л)=0. Таким образом, tv — отображение множества высказываний в множество, состоящее из двух элементов: 1 и 0.
Определение 2.1. Два высказывания а и b называются равносильными, (обозначение , если tv (a)=tv (b).
Логические связки. Из высказываний с помощью Логических связок Могут быть построены новые (составные) высказывания. Таким образом, логические связки можно понимать как операции на множестве высказываний. Приведём таблицу наиболее употребительных логических связок (отрицание — унарная, остальные — бинарные):
Название | Прочтение | Обозначение |
Отрицание | Не… | Ø Или |
Конъюнкция | …и… | & Или ÙÙ |
Дизъюнкция | …или… | Ú |
Импликация | Если…то | ® Или Þ |
Эквиваленция | …эквивалентно… | «или Û или ~ |
Отрицание эквивалентности | …не эквивалентно… | ÅÅ |
Все логические связки обладают тем свойством, что истинностное значение составного высказывания определяется истинностными значениями его частей, соединённых логической связкой. Это отражается в Таблицах истинности Для логических связок, строки которых состоят из истинностных значений тех высказываний, которыми помечены столбцы. Таблица истинности отрицания имеет вид:
A | |
Приведём сводную таблицу истинности для бинарных логических связок:
A | B | A & B | A Ú B | A ® B | A ~ B | A Å B |
Примеры.
1) Пусть X И Y — вещественные числа. Возможны 2 случая: а) высказывание X > Y Ложно; б) высказывание X > Y истинно. В случае а) высказывание истинно (по определению операции отрицания, см. также таблицу истинности для отрицания); в то же время в данном случае истинным является высказывание X £ Y (т. к. любые два вещественных числа связаны отношением > или отношением £). Аналогично, в случае б) высказывание ложно и в то же время ложно высказывание X £ Y º(X B Y). Итак, для любых двух Фиксированных вещественных чисел X И Y отрицание высказывания X > Y равносильно высказыванию X £ Y: º X £ Y.
2) Пусть A — высказывание «В Киеве идёт дождь», B — высказывание «Дважды два — четыре». Импликацией этих высказываний будет высказывание A ® B: «Если в Киеве идёт дождь, то дважды два — четыре», которое является истинным независимо от того, идёт ли дождь в Киеве (см. сводную таблицу истинности).
Если же A Оставить прежним, а в качестве B Взять высказывание «Здание МТУСИ имеет пятьдесят пять этажей», то A ® B будет истинным высказыванием, если в Киеве не идёт дождь, и ложным – в противном случае.
Наконец, если в качестве A взять высказывание «Дважды два – пять», а в качестве B – высказывание «Дважды два – четыре», то получим Истинное высказывание A ® B, которое можно словесно выразить так: «Если дважды два – пять, то дважды два – четыре». Не всем студентам последнее утверждение кажется верным. Здесь мы видим, что точное определение смысла логических связок, которое даётся таблицей истинности, уточняет расплывчатые правила употребления соответствующих слов в обыденном языке (раньше для этой цели придумывали специальные формулировки типа «из лжи следует всё, что угодно» или «из того, что дважды два – пять, следует, что существуют черти»).
11. Конъюнкция высказываний. Примеры.
Если два высказывания соединены союзом И, то полученное сложное высказывание обычно считается истинным тогда и только тогда, когда истинны оба составляющие его высказывания. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным. Например, возьмем два высказывания:
"У кота есть хвост" (А) "У зайца есть хвост" (В)
Сложное высказывание "У кота есть хвост и у зайца есть хвост" истинно, т.к. истинны оба высказывания А и В. (Более литературный вариант этой конъюнкции: "У кота и у зайца есть хвост"). Но если взять другие высказывания:
"У кота длинный хвост" (С) "У зайца длинный хвост" (D)
то сложное высказывание "У кота длинный хвост и у зайца длинный хвост" будет ложным, т.к. ложно высказывание (D). (Более литературный вариант этой конъюнкции: "У кота и у зайца длинный хвост"). Таким образом, исходя из обычного смысла союза И, приходим к определению соответствующей логической функции - КОНЪЮНКЦИИ:
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |