Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

Читайте также:
  1. A) Лицо, которое по закону обязано платить налог.
  2. C) осуществление правосудия только судом
  3. C. Радиоактивностью называется самопроизвольный распад неустойчивых ядер с испусканием других ядер и элементарных частиц.
  4. II. ЧТОТАКОЕ ПУТЬ КРЕСТА?
  5. quot;Наруто, как только штыки из тебя выйдут, атакуй Пеина!" - передала Кейт свои мысли Наруто.
  6. Quot;Она великолепна, без оружия, без своей злости и с таким усилием вешает занавеску" – Шикамару думал только об этом.
  7. Quot;Что это такое?" – Неджи был обездвижен.
  8. Re: Что такое психотерапия?
  9. А)максимальное количество воздуха, которое может находиться в легких
  10. Аксиомы исчисления высказываний.

Отметим, что высказывание типа " А, если и только если В " можно заменить высказыванием "Если А, то В и, если В, то А " (обдумайте это на досуге и обратите внимание на символ <=>). Следовательно, функцию эквиваленции можно заменить комбинацией функций импликации и конъюнкции. Запишем таблицу истинности для эквиваленции:

А В А<=>В
И И Л Л И Л И Л И Л Л И

Попробуем записывать сложные высказывания схематически с помощью обозначения логических связок:

  1. "Быть иль не быть - вот в чем вопрос." (Шекспир) А V Ā <=> В
  2. "Если хочешь быть красивым, поступи в гусары." (К. Прутков) А => В

15. Отрицание. Примеры

- логическая операция, в результате к-рой из данного высказывания Аполучается новое высказывание "не А". В формализованных языках высказывание, получающееся в результате О. высказывания А, обозначается (читается: "не А", "неверно, что А", "Ане имеет места"). Семантически О. высказывания Аозначает, что допущение Априводит к противоречию. В классической двузначной логике операции О. соответствует следующая истинностная таблица:

16. Формулы алгебры логики. Виды формул.

 

17. Равносильные формулы. Примеры

Равносильные формулы алгебры логики

Определение. Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний (переменных).

Обозначение. A≡B.

Пример.

.

Определение. Формула A называется тождественно истинной (тавтологией), если она принимает значение 1 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Определение. Формула A называется тождественно ложной (противоречием), если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных (напр., ).

Утверждение. Отношение равносильности рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Связь между понятиями равносильности и эквивалентности: если формулы A и B равносильны, то формула A↔B тавтология, и обратно, если формула A↔B тавтология, то формулы A и B равносильны.

Равносильности алгебры логики можно разбить на 3 группы:

1. Основные равносильности.

· – законы идемпотентности;

· ;

· ;

· ;

· ;

· – закон противоречия;

· – закон исключенного третьего;

· – закон снятия двойного отрицания;

· – законы поглощения.

1. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие:

· ;

· ;

· ;

· ;

· ;

· .

Замечание. Из равносильностей группы 2 следует, что всякую формулу алгебры логики можно заменить равносильной ей формулой, содержащей только две логические операции: конъюнкцию и отрицание, или дизъюнкцию и отрицание. Дальнейшее исключение операций невозможно. Например, если использовать только конъюнкцию, то уже такая простая формула, как не может быть выражена с помощью операции конъюнкции.

Существуют операции, с помощью которых может быть выражена любая из 5 логических операций:

1) Связка Шеффера – дизъюнкция отрицаний.

Обозначение. x | y≡ x не совместно с y»).

Логические значения связки Шеффера описываются следующей таблицей истинности:

x y x | y
     
     
     
     

Имеют место следующие равносильности: а) ; б) .

2) Связка Лукасевича – конъюнкция отрицаний.

Обозначение. x↓y≡ («ни x, ни y»).

Логические значения связки Лукасевича описываются следующей таблицей истинности:

x y xy
     
     
     
     

 

2. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики:

· – коммутативность конъюнкции;

· – коммутативность дизъюнкции;

· – ассоциативность конъюнкции;

· – ассоциативность дизъюнкции;

· – дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции;

· – дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции.

Замечание. Равносильности группы 3 показывают, что над формулами алгебры логики можно проводить те же преобразования, что и в алгебре чисел.

 

18. Законы логики. Способы их применения. Примеры.

Законы логики"

Законы логики отражают наиболее важные закономерно­сти логического мышления, В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики.

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно са­момусебе: А = А

Закон непротиворечия. Высказывание не может быть од­новременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Сле­довательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должнобыть ложно: A & A = 0

Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означа­ет, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина: A v A = 1

Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать неко­торое высказывание, то в результатемы получим исходное высказывание: A = A


Кроме логических законов, важное значение для выполнения преобразований логических выражений имеют правила алгебраических преобразований. Многие из них имеют аналоги в обычной алгебре.

Законы Моргана: (A v B)= А & В

(A & B)= А v В

Правило коммутативности. В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказыва­ний можноменять местами логические переменные при опе­рацияхлогического умноженияи логического сложения:

Логическое умножение Логическое сложение

A & B = B & A A v B = A v B

 

Правило ассоциативности. Если в логическом выраже­нии используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пре­небрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

(A & B) & C = A & (B & C) (A v B) v C = A v (B v C)

Правило дистрибутивности. В отличие от обычной алгеб­ры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения Дистрибутивность сложения

относительно умножения относительно сложения

(a x b) + (a x c) = a x (b + c)

(A & B) v (A & C) = A & (B v C) (A v B) & (A v C) = A v (B & C)

Рассмотрим в качестве примера применениязаконов ло­гики и правил алгебрылогики преобразование логического выражения. Пустьнам необходимо упростить логическое выражение:

(А &. В) v (A & В).

Воспользуемся правилом дистрибутивности и вынесем за скобки А:

& В) v (А & В) = А & v В).

По закону исключенного третьего В vВ =1, следователь­но:

А & (В v B) = А &. 1 = А.

 




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 39 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | <== 12 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав