Читайте также:
|
|
Определение векторного произведения
Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму вектору b виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16).
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который:
1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с^а и с^b;
2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и bкак на сторонах (см. рис. 17), т. е.
3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а,b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k(см. рис. 18):
i х j = k, j х k = i, k х i = j.
Докажем, например, что iхj=k.
1) k^i, k^j;
2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1;
3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).
Свойства векторного произведения
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa) (см. рис. 19).
Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хbи a, b, bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa).
2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l(а хb) = (lа) х b = а х (lb).
Пусть l>0. Векторl(ахb) перпендикулярен векторам а и b. Вектор (lа)хbтакже перпендикулярен векторам а и b(векторы а, lа лежат в одной плоскости). Значит, векторы l(ахb) и (lа)хbколлинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:
Поэтому l(a хb)=lахb. Аналогично доказывается при 1<0.
3. Два ненулевых вектора а и bколлинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b <=>ахb =0.
В частности, i *i =j *j =k *k =0.
4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:
(a+b) хс= ахс+b хс.
Примем без доказательства.
Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 21 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |